Aritmética modular

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Aritmética Modular, também conhecida como aritmética do relógio ou calculadora-relógio, foi descoberta por Johann Carl Friedrich Gauss no século XVIII. É um conceito muito importante e que está relacionado com divisibilidade e os restos de uma divisão de números inteiros. O que não é muito comum é o estudo das muitas aplicações que o tema possui no cotidiano de todas as pessoas. Diferentes códigos numéricos de identificação, como códigos de barras, números dos documentos de identidade, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptografia, calendários e diversos fenômenos periódicos estão diretamente ligados ao tema.
O princípio da calculadora-relógio é idêntico ao de um relógio comum: se um relógio marca nove horas e adicionamos cinco horas, o ponteiro das horas avança até duas horas. Desta forma a calculadora-relógio nos fornece a resposta 2, e não 14.
Pode-se resolver a calculadora-relógio através da aritmética convencional, através da operação:

No exemplo acima o dividendo 14 dividido pelo divisor 4 fornece um quociente 3 com resto 2. O resto desta divisão é o resultado em aritmética modular, e matematicamente pode expressar-se por 14 mod 3 = 2
Gauss percebeu que relógios nada tinham de especial e desenvolveu a aritmética do relógio, também chamada de aritmética modular, com relógios que contivessem qualquer número de horas. Desta forma se inserirmos o número 11 numa calculadora-relógio dividida em 4 horas, a resposta será 3 horas, já que 11 deixa resto 3 ao ser dividido por 4. A descoberta foi importante para matemática na virada do século XIX e são essenciais hoje para a segurança na Internet, que utiliza as calculadoras-relógio que contêm mais horas que o número de átomos no universo observável.

Exemplos:
Aritmética Convencional:
Aritmética Modular (que neste caso específico a operação modular correspondente é a de “Aritmética módulo 4” porque o divisor é 4):

Observação:

Propriedades das congruências
Se , então

Para qualquer inteiro c
Se

Lembre-se

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