Apts de fisica lei de gauss

A CONSTANTE DE EULER
DATA DE ENTREGA: 27/10/2002

A constante de Euler ´ definida como e γ = lim (Hn − log n),

(1)

n→∞

onde Hn ´ o n-´simo n´mero Harmˆnico : e e u o
11
1
(2)
Hn = 1 + + + · · · + =
23
n

1≤ k ≤ n

1
,
k

e log denota o logaritmo natural. Sabe-se que
(3)

γ = 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 . . .

Neste EP, vocˆ deve determinar o valor de γ o mais precisamente poss´ e ıvel.
Vocˆ deve implementar as seguintes duas id´ias, no m´ e e ınimo. M´todo “direto”. Certamente, o m´todo mais f´cil ´ determinar aproxie e ae ma¸˜es para γ calculando Hn − log n para valores grandes de n. Quantas co casas decimais de γ vocˆ consegue determinar dessa forma? (Compare seu e resultado com (3).)
A f´rmula da soma de Euler. Em 1732, Euler publicou um m´todo o e importante para estimar somas. Este m´todo, aplicado a (2), fornece que, e para todo m e n ≥ 1 inteiros, temos
1
B2k
B2m+2
(4)
Hn = log n + γ +
−
+ θm,n
,
2n
(2m + 2)n2m+2
2kn2k
1≤ k ≤ m

onde θm,n ´ um n´mero entre 0 e 1, e os Bj s˜o os n´meros de Bernoulli : e u a u
B0 = 1,

B1 = −

1
2

1
B2 = ,
6

B4 = −

1
,
30

B6 =

1
,
42

...

e
B3 = B5 = B7 = · · · = 0.
Os n´meros de Bernoulli satisfazem a equa¸˜o u ca
(5)
0≤ j ≤ m

m+1
Bj = 0, j para todo inteiro m ≥ 1.
Fixe m, como m = 2 e m = 3, e desenvolva explicitamente a equa¸˜o (4). ca Fixado m, obtenha aproxima¸˜es para γ usando (4) para valores apropriaco dos de n. (Vocˆ consegue prever valores apropriados para n em fun¸˜o da e ca

precis˜o desejada?) Veja o que vocˆ consegue. (Para usar (4) com m ≥ 3, a e determine B8 , B10 , . . . manualmente.)
O que o programa deve fazer.
(a ) O seu programa deve imprimir uma tabela com valores de n, Hn − log n,

e

− log10 |γ − (Hn − log n)|,

incluindo valores grandes de n (inclua valores maiores ou iguais a 108 ). Aqui, vocˆ deve usar o valor de γ dado em (3). e (b ) Use