ApostilaCN Introdu O Passo1 Da Etapa I Do AtPS 1

Cap´ıtulo 1

Conceitos B´ asicos 1.1

Introdu¸ c˜ ao

Pretendemos neste cap´ıtulo relembrar alguns conceitos b´asicos, que ir˜ao facilitar a compreens˜ ao dos m´etodos num´ericos apresentados nos pr´ oximos cap´ıtulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados s˜ ao de ´ algebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da ´algebra linear, em geral, e da teoria dos espa¸cos vetoriais, em particular, na an´alise num´erica ´e t˜ao grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de ´ algebra linear.
Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente j´a s˜ao conhecidos do leitor. O primeiro ´e o conjunto dos vetores da geometria, definidos atrav´es de segmentos orientados, e o outro ´e o conjunto das matrizes reais m × n.
` primeira vista pode parecer que tais conjuntos n˜ao possuem nada em comum. Mas n˜ao ´e bem assim
A
conforme mostraremos a seguir.
No conjunto dos vetores est´ a definida uma adi¸c˜ao dotada das propriedades comutativa, associativa, al´em da existˆencia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.
Al´em disso, podemos multiplicar um vetor por um n´ umero real. Essa multiplica¸c˜ao tem as seguintes propriedades (j´ a certamente vista por vocˆe no seu curso): α(u + v) = αu + αv ,
(α + β)u = αu + βu ,
(αβ)u = (αβu) ,
1·u = u , onde u, v s˜ ao vetores e α, β s˜ ao escalares quaisquer.
No conjunto das matrizes tamb´em est´a definida uma adi¸c˜ao dotada tamb´em das propriedades associativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.
Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto `a adi¸c˜ao ´e o mesmo.
Mas n˜ ao param por a´ı as coincidˆencias.
Pode-se tamb´em multiplicar uma matriz por um n´ umero real. Essa multiplica¸c˜ao apresenta as mesmas propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades: α(A + B) = αA + αB ,
(α