Apostila equaçoes diferencias e series

Páginas: 28 (6788 palavras) Publicado: 12 de agosto de 2012
UNIVERSIDADE SALVADOR - UNIFACS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES
DOCENTE: GUSTAVO COSTA
ALUNO: _______________________________________________________________________

1ª Lista de textos, exercícios e aplicações
1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s)
Muitos dos princípios em Ciências e em Engenharias dizem respeito a relações entre quantidades(grandezas) as quais estão variando (em geral, em relação ao tempo). Uma vez que taxas de
variação são representadas matematicamente por derivadas, não é de surpreender que tais
princípios estejam freqüentemente expressos em termos de equações envolvendo derivadas
(equações diferenciais). Estudaremos alguns exemplos de fenômenos “modelados” via equações
diferenciais de 1ª. ordem.
Exemplosenvolvendo os conceitos de solução geral e particular de uma EDO.
Exemplo 1: Considere y′ − y = 0 (I).
y = e x é uma solução de (I). y = C ⋅ e x é a solução geral de (I).

Se tomarmos a condição inicial y (0) = 2 e usarmos na solução geral, vamos encontrar que
y = 2e x é uma solução particular de (I).

Exemplo 2: Considere agora y′′ + y = 0 (II)

y = cos x e y = senx são soluções de (II). y =C1 ⋅ cos x + C2 ⋅ senx é a solução geral de (II).
Para determinarmos uma solução particular de (II), precisamos de duas condições iniciais.
Suponha então que y (π ) = 2 e y′(π ) = −1 são condições iniciais dadas. Então,
Substituindo y (π ) = 2 em y = C1 ⋅ cos x + C2 ⋅ senx temos 2 = C1 ⋅ cos π + C2 ⋅ senπ , daí, C1 = −2 .
Substituindo y′(π ) = −1 em y′ = −C1 ⋅ senx + C2 ⋅ cos x temos −1 = −C1⋅ senπ + C2 ⋅ cos π C2 = 1 .
Logo, y = −2 ⋅ cos x + 1 ⋅ senx = −2 cos x + senx é uma solução particular de (II).

Exercício 3 – Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial
correspondente:

Função
a)

x

y = C1e + C2 xe

x

b) u = senx − 1 + ke−senx
c)

x(t ) = C1 cos(2t ) + C2sen(2t )

Equação Diferencial
y′′ − 2 y′ + 1 = 0
du
+ u cos x = senxcos x
dx
x′′ + 4 x = 0

d 2z

− x2

d)

z = ke

e)

x = A cos (ωt + α ) onde A, ω e α são constantes

+ 2z = 0
dx 2
x ''+ ω 2 x = 0

EDO’s de 1ª. ordem



Uma EDO de 1ª. ordem pode ser representada de diversos modos: F ( x, y, y′) = 0 ,
y′ = f ( x, y ) e M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 são algumas das formas em que se apresentam.

x2 − y
e também
Por exemplo, aequação xy′ + y − x = 0 pode ser escrita como y′ =
x
dy x 2 − y
ou ainda xdy − ( x 2 − y )dx = 0 .
=
dx
x
2




A solução geral é dada na forma implícita por f ( x, y , C ) = 0 onde C ∈ (constante real
arbitrária).
Tem-se, teoricamente, uma única solução particular quando determinamos o valor de C
usando a condição inicial y0 = y ( x0 ) .

Especificamente, estudaremos dois “tipos” deEDO’s de primeira ordem.
1.1.1 EDO de variáveis separáveis (ou separadas)

Dizemos que uma EDO de 1ª. ordem é de variáveis separadas (ou separáveis) se pode ser escrita
sob a forma
g ( x)dx = h( y )dy (1)
Assim, podemos determinar a solução geral de (1) simplesmente integrando ambos os membros,
ou seja,
∫ g ( x)dx = ∫ h( y)dy .

Alguns exemplos resolvidos envolvendo edo’s de variáveisseparáveis.
Exemplos – Determine a solução geral de cada EDO.
a) y′ − y = 0
Esta equação (ainda) não está com suas variáveis separadas, contudo, podemos reescrevê-la do
seguinte modo:
dy
1
1
y′ − y = 0 ⇒
= y ⇒ dy = ydx ⇒
dy = dx ⇒ ∫ dy = ∫ dx ⇒ ln y = x + C
dx
y
y
variáveis separadas

solução geral

Observe que podemos explicitar a função y fazendo algumas manipulações algébricas:ln y = x + C ⇒ y = e x +C ⇒ y = e x ⋅ eC ⇒ y = Ce x ⇒ y = ±Ce x ⇒ y = Ce x (esta é a
solução geral escrita na forma explícita)

Equações Diferenciais e Séries – UNIFACS

2

b) y′ + xy = 3x
y′ + xy = 3x ⇒

dy
1
= x(3 − y ) ⇒
dy = xdx ⇒
dx
3− y

1
x2
dy = ∫ xdx ⇒ − ln 3 − y =
+C
∫ 3− y
2
solução geral

variáveis separadas

Podemos explicitar a solução geral e...
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