Apostila Calculo3

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UNIVERSIDADE TECNOLOGICA
FEDERAL DO
´
PARANA
NOTAS DE AULA
Disciplina: C´alculo III
Professora

CLICIA G A PEREIRA

Departamento de Matem´atica
Campo Mour˜ao - 2015

2

Conte´ udo ´
´
1 TOPICOS
DE CALCULO
VETORIAL

3

Introdu¸c˜ ao 3

1.1

1.2

1.3

1.4

˜ DE CURVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PARAMETRIZAC
¸ AO

3

1.1.1

Espa¸co Bidimensional

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Espa¸co Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

˜
FUNC
¸ OES
VETORIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Fun¸ca˜o de uma vari´avel real em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Fun¸ca˜o de uma vari´avel real em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Fun¸co˜es Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Gr´aficos de fun¸c˜oes vetoriais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.5

Comprimento de uma curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.6

C´alculos de Fun¸co˜es Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Campos Vetoriais e Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Representa¸ca˜o Gr´afica de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3

Algumas observa¸co˜es impontantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4

Campos Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5

Campos Conservativos e Fun¸co˜es Potenciais . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.6

Encontrando Fun¸co˜es Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.7

Divergˆencia e Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1

C´alculo de Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1

¨ ENCIAS
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´
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2 SEQU
E SERIES
NUMERICAS

15

Introdu¸c˜ ao 15

2.1

2.2