ApostCalc1 Derivada 2

Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS

APOSTILA DE CÁLCULO I

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
Parte I

Profª. MSc. Adriana de Fátima Vilela Biscaro

Veremos nesta apostila que a DERIVADA, representa a inclinação de uma curva num ponto.
Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em diversos ramos da Física,
Engenharia, Economia etc.

Exercícios:
1. Encontrar uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1).
2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2.

Como vimos na seção anterior, esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0). Portanto, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto x0, representa a inclinação da curva neste ponto.
O termo “derivada” é usado porque a função f’ deriva da função f por meio de um limite.

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

Exercícios:
1. Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x2 +1 e use-a para encontrar a equação da reta tangente a y = x2 +1 em x=2.
2. Dada f(x) = 5x2 + 6x -1, encontre f’ (2). x− 2
3. Dada f ( x ) =
, encontre f’(x). x+ 3
4. Dada f ( x ) =

x , encontre f’(4).

5. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
a) f(x) = x2 -1 ; x=0
b) f(x) = x2 – 3x + 6; x = -1
6.
a)
b)
c)
d)

Dadas as funções f(x) = 5 – 2x e g(x) = 3x2 -1, determinar: f’ (1) + g’(1)
2f’(0) – g’(-2) f(2) – f’(2)
[g’(0)]2 + 1/2g’(0) + g(0)

7.
a)
b)
c)
d)

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: f(x) = 1 – 4x2 f(x) = 2x2 – x -1 f(x) = 1/x+2 f(x) = 1-x/x+3

8. Dada a função f(x)= 2x2 – 3x -2, determinar os intervalos em que:
a)f’(x) >0
b) f’(x) <0

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
TEOREMA: Toda função derivável num ponto x1 é contínua nesse ponto
Prova: (i) f(x1) existe;
(ii) lim f ( x) existe; x→ x1

lim f ( x) = f(x1)
(iii) x→ x1 Por hipótese, f(x) é derivável em x1. Logo f’ (x1) existe e, pela fórmula f ( x) − f ( x1 ) x →