aplicações das integrais duplas

APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS

1.) DENSIDADE E MASSA

Seja uma lâmina colocada numa região R do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por , onde é uma função contínua sobre R.
A massa total da lâmina é dada por:
Exerc.1: Uma lâmina tem a forma de um retângulo com dois lados consecutivos de comprimento igual a 2 cm e a 4 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .
Resp.:

Exerc. 2: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .
Resp.:

2.) CARGA
Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região R e a densidade de carga (em unidades de carga por unidade de área) é dada por num ponto (x, y) em R, então a carga total é dada por:

Exerc. 3: A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo triângulo retângulo de vértices (2,2), (0,2) e (2,0) de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) seja , medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.
Resp.:
Exerc. 4: A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo retângulo de vértices (3,2), (0,2), (3,0) e (0,0) de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) seja , medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.
Resp.:

3. MOMENTO

Seja uma lâmina com a forma de uma região R do plano XY e cuja densidade de massa por área num ponto (x,y) é . Define-se momento de uma lâmina em torno do eixo como o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo.
Assim:

Exerc. 5: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo de vértices (2,4), (0,2) e (0,0). Determine a massa da lâmina, medida em gramas por centímetros quadrado (g/cm2) e o momento,