Aplicações da Trigonometria

Páginas: 6 (1350 palavras) Publicado: 30 de julho de 2013







Aplicações da Trigonometria





























Feliz
2013
1. Introdução


A trigonometria se aplica de várias formas em nosso dia a dia e em diversos ramos de atividades. Este ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de dois lados de um triangulo retângulo, a partir dos ângulos formados entre eles, auxilia desde anavegação nos oceanos, aviões e no espaço, até o desenvolvimento de jogos.
Então, podemos ver que a trigonometria tem caráter importante em diversas áreas, e por isso, será demonstrada e explicada neste trabalho, para que as pessoas possam entender e até realizar cálculos trigonométricos aplicados ao dia a dia.


2. Aplicações

A Trigonometria nasceu c. 300 AC entre os gregos, para resolverproblemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolemaicos 150 d.C. o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas. Do mundo grego, a Trigonometria passou, c. 400 d.C., para a Índia onde era usada nos cálculos astrológicos ( ainda eram problemasde Astronomia ). Por cerca de 800 d.C. ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1 100 d.C. a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolemaicos, na Europa Cristã. Aí, inicialmente estudada tão somente por suas aplicações na Astronomia, com os portugueses da Escola de Sagres encontra uma aplicação de enorme valor econômico nanavegação oceânica. 

As aplicações da Trigonometria até c. 1 600 d.C. :
Astronomia
Cartografia
Navegação Oceânica

Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante se observar que, por c. 1600 d.C., a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o queé hoje ensinado no segundo grau.


Como a grande maioria dos livros insiste em querer colocar a origem e desenvolvimento da Trigonometria nos problemas de cálculo de distâncias entre pontos sobre a superfície da Terra, vejamos exemplos de como os agrimensores e topógrafos do passado resolviam seus problemas. Suas técnicas eram baseadas no uso da semelhança de triângulos: 

EXEMPLO 1 - Asprimeiras aplicações da Trigonometria

Determinação da altura h de uma montanha usando duas sombras de uma vareta de comprimento v.

Da primeira sombra: h : v = d : s1.
Da segunda: h : v = ( d + e + s2 ) : s2.
Daí se obtém: 
d = s1 ( e + s2 ) / ( s2 - s1 )



EXEMPLO 2 - Os métodos não trigonométricos em Topografia

Cálculo da profundidade p de um buraco ( poço, ravina, etc ) usando umavareta de comprimento v.


da primeira posição da vareta obtemos: p : R = v : s1
e da segunda posição ( beirada do buraco ) : p : ( R - s2 ) = v : s2, de modo que, após eliminar o R, conseguimos:

p = v s2 / ( s2 - s1 )



EXEMPLO 3 - O Início das aplicações da Trigonometria na Geodésia : W. Snell c. 1 600


A fim de obter coordenadas dos pontos de uma região na superfície daTerra, Snell, que é mais conhecido pela lei da refração, introduziu a idéia de triangulação. Essa consiste no seguinte:
cobrimos a região com uma cadeia de triângulos de vértices A, B, C, etc escolhidos de modo que cada um, C por exemplo, seja visível desde os dois precedentes ( A e B no exemplo ) e dos dois seguintes ( D e E no exemplo). Tipicamente esses vértices são escolhidos em topos demontanhas, torres de igrejas e outros pontos de fácil visualização.
medimos com exatidão o comprimento do lado AB, que é chamado base e que preferivelmente deve estar sobre um terreno plano para facilitar as medidas
medimos todos os ângulos dos triângulos da cadeia
a partir da lei dos senos e da base e ângulos medidos, calculamos o comprimento de todos os lados dos triângulos da cadeia
usando-se...
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