Aplicação da relação áurea em um sistema de

Páginas: 6 (1453 palavras) Publicado: 27 de abril de 2013
APLICAÇÃO DA RELAÇÃO ÁUREA EM UM SISTEMA DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE

Wairy Dias Cardoso Universidade Gama Filho , Departamento de Engenharia Mecânica Rua Manoel Vitorino nº 553, Piedade CEP 20740-280– Rio de Janeiro - RJ wairycardoso@yahoo.com.br

Resumo Neste artigo iremos enfatizar o emprego da Relação Áurea com um estudo em Vibração Mecânica. Na natureza, a relaçãoÁurea nos dá o equilíbrio entre o gasto de energia e o rendimento de um sistema. Dito isto, os problemas de engenharia e outras ciências podem ser otimizados, criando e estudando modelos com o conceito do Número de Ouro. Palavras chave: Número de ouro, Relação áurea, Vibração mecânica.

1

INTRODUÇÃO

A Relação Áurea também conhecida como Número de Ouro, Número Áureo ou Relação Áurea, é umaconstante real irracional denotada pela letra grega  .Encontramos tal fato na Biologia, nas artes, Arquitetura e Engenharia [1] [2]. No caso presente estamos apresentando um fato em vibração mecânica mostrando as inúmeras possibilidades em futuros projetos mecânicos. 2 RELAÇÃO ÁUREA

Seja a divisão de um segmento ( Fig.1) de modo tal que a relação entre o segmento total e a parte maior, sejaigual à relação entre a parte maior e a parte menor e dividi-la em média e extrema razão ou relação áurea[1]. Assim têm-se:

fig.1 Segmento de reta com Proporção Áurea

A parte maior é denominada segmento áureo (x). Ela é a média geométrica entre o segmento total (a) e a parte menor do segmento (a-x). Por definição

a x  que resulta em x ax

x 2  ax  a 2  0

Ao resolver esta equação,têm-se a relação áurea

x  1 5  a 2

com as raízes aproximadas (1)

 x x    1  1,618 e    2  0,618  a 1  a 2

O valor numérico da primeira raiz 1  1,618 representa um ponto externo ao segmento enquanto que a segunda raiz 2  0,618 representa um ponto do segmento entre seus extremos .

2.1

Aplicações da Relação Áurea na engenharia mecânica

Entre muitosexemplos citaremos dois na Engenharia Mecânica que usaram a Relação áurea em seu projeto. 2.2 Ferrari Dino conceito de 2007

A Ferrari Dino conceito de 2007 (fig. 2) projetado por Ugur Sahin é a modernização de um modelo anterior de sucesso (Ferrari Dino) fabricada em homenagem a Alfredo Ferrari, filho de Enzo Ferrari, mais conhecido como Dino [10] [11]. O conceito da Relação Áurea foi aplicado noprojeto dando origem a um modelo com equilíbrio estático e dinâmico conforme os testes confirmaram. Podemos notar os retângulos áureos (1 e 1, 618) na confecção do veículo compondo um sistema harmonioso em sua estrutura espacial formando um belo automóvel (fig. 3).

fig. 2 Ferrari Dino 2007 com aplicação da Relação Áurea

fig. 3 Ferrari Dino 2007 de perfil

2.3

Boeing 747

Paraprojetar o Boeing 747, levaram-se em consideração os conceitos de Aerodinâmica, Resistência dos Materiais, Física, Química, mas, também usou o conceito da Relação Áurea tal como demonstra as proporções harmoniosas. De acordo com o texto e a figura no livro O Poder dos Limites, Harmonias e Proporções na Natureza, Arte e Arquitetura, pg 130 e 131 “O projeto integral dessa aeronave cabe em dois pares deretângulos áureos recíprocos, que se juntam ao longo da linha central da fuselagem; o comprimento dos maiores corresponde à frente do avião (do nariz ás pontas das asas), enquanto que nos menores contém a cauda...” e assim continua o relato da aplicação do número de ouro nesta aeronave [3].

fig. 4 Número de Ouro aplicado ao Boeing 747

3 3.1

SISTEMA MASSA-MOLA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADEDesenvolvimento das equações diferenciais do sistema

Na fig.5, está representado um sistema massa-mola com dois graus de liberdade, pois as duas massas podem movimentar-se independentemente portanto requerem duas coordenadas para identificar sua posição. Se as massas m1 e m2 são obrigadas a moverem-se verticalmente, pelo menos uma coordenada x(t) é requerida para definir a posição de cada...
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