Aplicação da integral definida

Páginas: 11 (2621 palavras) Publicado: 28 de abril de 2013
CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. y f(x) f1 ∆x f1

x
a + ∆x


a

b

f ( x ) dx =


a

a + 2 ∆x a + ∆x

f 1 dx +

∫ f 2 dx

+ ... = f 1 ∫ dx + f 2

∫ dx

+ ...

pois, o f i para um dado retângulo éconstante = f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A


a

b

f ( x ) dx = A área sob a curva

Exercícios 1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x. 5x − x 2 = 0 x (5 − x ) = 0 x = 0  x = 5 0 5
y = 5x − x 2

A=



5

0

5x − x 2 dx = 5.

x2 x3 − 2 3

5

=
0

53 53 5 − = u.a. 2 3 6

2) Dada a função y = x calcular a área sob o gráfico dex = 0 a x = 3 . y y=x A= 3 Por geometria 128
3 3


0

f ( x ) dx =


0

2 x dx = x

3

2

=
0

9 2

x

A=

1 1 9 base × altura = ×3×3= 2 2 2

que é o mesmo resultado obtido por integração. 3) Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva O gráfico da curva é: y f(x) f(x) =

1 2 (x – 2x + 8), entre x = -2 e x = 4. 8

x 4 4 -2 0 4    x3 x2 1  x3 1 2 2 = A = ∫ x − 2 x + 8 dx = − x + 8 x − + x  8 8 3 8  −2  −2  24     −2
4

(

)

=

43 42 +424 8

 ( −2 ) 3 ( −2 ) 2  64 16 8 4 14 17 15 + +2 = +4+ − − 2 = + =  8 24 8 24 8 3 6 2  24    y = x2 – 3x + 2 e o eixo x que é y = 0.

4) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y f(x)

Nos dois pontos y = 0→ x2 – 3x + 2 = 0 fornece x1 = 1 e x2 = 2.

0A2 = +


a

b

1

f ( x ) dx = +

∫ (x
2 1

2

x
2

∫ f ( x ) dx
a

b

= A , então
2

3 2 − 3 x + 2 dx =  x − 3 x + 2 x   

)

 3 

2

1 

 8 3 × 4 1   1 3  2 5  A2 = +   − unidades de área + 4  − + − + 2   = +  −  = 3 2 3 2 3 6 6      8.1.1- A Integral Definida para Cálculo de Área de Funções Pares e Impares Quando uma função épar ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que permite que a área A =

−a



a

f ( x ) dx

seja e dada por A = 2

∫ f ( x ) dx .
0

a

Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipoy

Y

f(x)=x2

−a

∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
0

a

a

−a

0

a

X
129

−2

2 ∫ x dx =

2

x3 3

2

=
−2 2

16 8 8 + = 3 3 3

2


0

2

3 x 2 dx = 2 × x

3

=2×
0

16 8 = 3 3

Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y. No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico. y f(x)=x3 A área total A = 2 -2 2
2∫x
0

3

dx

x

A integral

−2 2

∫ f ( x ) dx = 0
2

2

porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário em relação à origem.

x4 A = 2 ∫ x dx = 2 4 0
3

0
2

x4 = 2

2

= 8 − 0 = 8 u .a.
0

ou

−2

∫x

2

3

dx =

x 4

4

=4−4 =0
−2

(integral nula)

“A área deve ser considerada sempre positiva.”

8.1.2- A Integral Definida paraCálculo de Área entre Duas Funções Teorema: A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por:

y

f(x)
g(x)

a
b

b

x

A=


a

f ( x ) − g ( x ) dx e é sempre positiva.
130

Exercícios 1) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x. y y = 2x

y = 5x – x2

0

3

5

x

- Pontos de interseção  y = 5x − x 2   y = 2x 2x = 5x − x
2

- Área A = ∫ ( 5 x − x 2 − 2 x )dx A = ∫ ( 3 x − x 2 )dx
0 0 3 3

x 2 − 3x = 0 x( x − 3 ) = 0 x = 0  x = 3

3x 2 x 3 A= − 2 3 27 −9 2 9 A = u .a . 2 A=

3

0

2) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2 y 2 A1 x y = 4−x -2 A = 2.
4

x = 4 − y2 4 − y2 = 0 y = ±2



4 − x dx
A1 2

0 14 4 2 3

A = −2.


0

4

1 (4 − x )...
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