Anotas

UNIVERSIDADE DE BRAS´ILIA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
-IE

´
ALGEBRA
I
´
(Algebra
Abstrata)
Texto de aula
Professor Rudolf R. Maier

Vers˜ ao atualizada
2005

´Indice

CAP´ITULO I
Teoria Elementar dos Conjuntos pg. §

I.0

Fundamentos

..........................................

1

Algumas observa¸c˜oes sobre l´ogica elementar
Conceitos primitivos e conjuntos
Igualdade entre conjuntos
Subconjuntos
Diferen¸ca e complementar
Reuni˜ao e interse¸c˜ao
Uma propriedade fundamental do conjunto IN
O conjunto das partes
O teorema binomial
O triˆangulo de Pascal
§

I.1

Produtos Cartesianos e Rela¸ c˜ oes

...............

23

.................................

37

Produtos Cartesianos
Rela¸c˜oes
Rela¸c˜ao inversa
Composi¸c˜ao de rela¸c˜oes
Rela¸c˜oes de equivalˆencia
§

I.2

Aplica¸ c˜ oes (fun¸ c˜ oes)

Defini¸c˜ao e exemplos
Composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes
A caracteriza¸c˜ao das aplica¸c˜oes entre as rela¸c˜oes
Aplica¸c˜oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Conjuntos equipotentes
A decomposi¸c˜ao can´onica de uma aplica¸c˜ao
O axioma da escolha
As ordens |Inj (m, n)| e |Sob (m, n)|

i

CAP´ITULO II
´bricas
Estruturas Alge
§

II.1

Defini¸ c˜ oes das mais importantes estruturas alg´ ebricas ..............................

65

Composi¸c˜oes internas
Estruturas alg´ebricas
Propriedades especiais de estruturas
Centralizador e centro
Semigrupos e mon´oides
Elementos regulares, invers´ıveis e grupos
§

II.2

Subestruturas, estruturas quocientes e homomorfismos
...................................

89

Subestruturas
Subestrutura gerada por um subconjunto
Rela¸c˜oes de congruˆencia e estruturas quocientes
Estruturas quocientes
Homomorfismos e Isomorfismos
O teorema geral do homomorfismo e estruturas simples
Associatividade, comutatividade, identidades e inversos sob homomorfismos
§

II.3

Grupos

.................................................

110

Grupos
Os grupos sim´etricos
Subgrupos
O grupo dos automorfismos de uma estrutura alg´ebrica
As rela¸c˜oes de equivalˆencia modulo