Analise Matematica

UniCV - 2012
ANÁLISE I - NOTAS DE AULAS -SEMANA 12
A. Joaquim Fernandes
(para erros ou omissões: ajokae…@gmail.com)

SEMANA 12 (22.01.2013): Sequência de funções
Série de potências. Derivação e integração de série de potências. Sequências em espaços de funções. Convergência simples, uniforme, na norma e equicontinuidade no espaço C (K). (Ref.[1] - 13.1 a 13.5, pg. 744 a
781) (Ref.[2] - 10.1 a 10.7, pg. 163 a 181)
Leitura:
Ref.[1] - 4.1 a 4.10, pg. 217 a 282
TPC:
Ref.[1]
Pg. 751 #2,4,6,8,(12),14,18,20,24,(28),32
Pg. 751 #2,4,6,8,(12),14,18,20,(24)
Pg. 767 #2,4,6,8,(12),14,18,20,24,(28),32,34,(36),38
Ref.[2]
Pg. 179 #1,3,4,(5),8,9,10,(11),12,14,(15),18,19

Série de potências
Na Ficha 7 foi estudada a aproximação de uma função pelo polinómio de Taylor.
A série de Taylor de uma função f , "in…nitamente diferenciável" numa vizinhança de x0 2 ]a; b[ é dada por f (x)

f 00 (x0 ) f 0 (x0 )
(x x0 ) +
(x
1!
2!
1
X f (k) (x0 ) k (x x0 ) k! = f (x0 ) +
=

2

x0 ) +

k=1

A série de Taylor é uma combinação linear "in…nita"de uma sequência de funções potência:
Pn = (x

n

x0 )

para n = 0; 1; 2; :::

por conviniência notacional, começa-se a indexar a partir de n = 0.
Seguem algumas séries de Taylor de funções notáveis, na vizinhança do ponto x0 = 0:
A função exponencial: x2 x3 x4 x5 e =1+x+
+
+
+
+
2!
3!
4!
5! x A função sin x: sin x = x

x3 x5 +
3!
5!

x7
+
7!

A função cos x: cos x = 1

x4 x2 +
2!
4!

x6
+
6!

=

1
X xn
=
n! n=0 1
X ( 1)n x2n+1
(2n + 1)! n=0 =

1
X ( 1)n x2n
(2n)!
n=0

Qual o raio máximo da vizinhança de x0 = 0 em que estas séries convergem?
Pelo teste da razão,

1

lim

n!1

xn+1
(n+1)!
xn n! =

xn+1 n!
(n + 1)!xn

lim

n!1

x n!1 (n + 1)
1
= jxj lim n!1 (n + 1)
= 0
=

( 1)n+1 x2(n+1)+1
(2(n+1)+1)!
( 1)n x2n+1
(2n+1)!

lim

n!1

lim

n+1

=

( 1) x2(n+1)+1 (2n + 1)! n (2 (n + 1) + 1)! (