Analise Funcional

Espaços Normados, Espaços de Banach,
Teorema de Hanh-Banach e Aplicações
Ricardo da Silva Santos
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
Orientador: Ms. João Lopes Cardoso Filho e-mail: [e-mail]

Abril de 2014

1

Espaços Normados

2

Desigualdades Importantes

3

Exemplos de Espaços Normados

4

Sequência de Cauchy

5

Espaços de Banach

6

Referências Bibliograficas

Definição
◮

Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função . :E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: Definição
◮

Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função . :E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: ◮

i) x ≥ 0

∀x ∈ E

Definição
◮

Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função . :E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: ◮

i) x ≥ 0

◮

ii) x = 0 ⇔ x = 0

∀x ∈ E

Definição
◮

Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função . :E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: ◮

i) x ≥ 0

◮

ii) x = 0 ⇔ x = 0

◮

iii) ∀α ∈ R, e ∀x ∈ E vale: αx =|α| x

∀x ∈ E

Definição
◮

Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função . :E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: ◮

i) x ≥ 0

◮

ii) x = 0 ⇔ x = 0

◮

iii) ∀α ∈ R, e ∀x ∈ E vale: αx =|α| x

◮

iv) ∀x , y ∈ E temos que: x+y ≤ x + y

∀x ∈ E

Definição
◮

Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função . :E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: ◮

i) x ≥ 0

◮

ii) x = 0 ⇔ x = 0

◮

iii) ∀α ∈ R, e ∀x ∈ E vale: αx =|α| x

◮

iv) ∀x , y ∈ E temos que: x+y ≤ x + y

◮

Seja E um espaço vetorial munido da norma . é chamado espaço vetorial normado.

∀x ∈ E

Exemplo de Espaço Normado
◮

Seja R munido da norma x =| x | é um espaço normado, pois:

Exemplo de Espaço Normado
◮

Seja R munido da norma x =| x | é um espaço normado, pois:

◮

i) | x |≥ 0

∀x ∈ R

Exemplo de