Analise de sinais

Páginas: 25 (6003 palavras) Publicado: 20 de outubro de 2014
J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6 – Transformadas z
6.1 – Introdução às Transformadas z

4

6.2 – Transformadas z – definição

7

6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos

8

Sinal x[n] = a ⋅u1[n] (exponencial discreto)

8

Exemplo 6.1

8

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto)

9

n

Exemplo 6.2

10

Exemplo 6.3

126.4 – Pólos discretos

13

Exemplo 6.4

13

6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos

15

Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta)

15

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto)

16

Exemplo 6.5

17

Exemplo 6.6

17

6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos

18

Exemplo 6.7

18

Sinais seno e co-seno discretosmultiplicados pela exponencial

19

Sinais seno e co-seno discretos

20

Exemplo 6.8

21

1

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.8 – Tabela das Transformada z de alguns sinais discretos conhecidos

22

6.9 – Propriedades da Transformada z

24

Homogeneidade (“homogeneity”)

24

Aditividade (“additivity”)

24

Linearidade (“linearity”)

24

Translação(“time shifting”)

24

Mudança de escala no domino z (“z-domain scaling”)

26

Expansão no tempo (“time scaling”)

27

Conjugado (“conjugate”)

27

Convolução (“convolution”)

28

Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”)

28

6.10 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF)

29

Teorema do Valor Inicial (TVI)

29

Teorema do Valor Final (TVF)29

Exemplo 6.9

29

Exemplo 6.10

30

6.11 – Transformada z inversa

31

Caso 1 – Pólos reais e distintos

32

Exemplo 6.11

32

Caso 2 – Pólos complexos conjugados

33

Exemplo 6.12

35

Exemplo 6.13

35

Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.)

36

Exemplo 6.14

38

Exemplo 6.15

38

Exemplo 6.16

39

Caso 4 – Pólos múltiplos naorigem

39

2

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z

41

Exemplo 6.17

42

Exemplo 6.18

43

Exemplo 6.19

45

Exemplo 6.20

47

Exemplo 6.21

48

Exemplo 6.22

50

Exemplo 6.23

52

Exemplo 6.24

53

Exemplo 6.25

54

Exemplo 6.26

55

Exemplo 6.27

56

Exemplo 6.2857

6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z)

58

Exemplo 6.29

59

Exemplo 6.30

60

Exemplo 6.31

61

Exemplo 6.32

61

3

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Transformadas z
6.1 – Introdução às Transformadas z

Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência
complexa ‘s’ (Transformadas de Laplace, capítulo 5).
Nocaso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um
sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z.
A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso é
‘z’, e portanto, ela é uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discretos.
Entretanto, as Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas“Séries de
Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent
(1813-1854). Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anteriormente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl
Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequentemente é citado como sendo o pai da análise moderna.
As séries de Laurent sãouma representação de um sinal por séries de potências, generalizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode
ser aplicada. As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook
Taylor (1685-1731).
As transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de sistemas de controlo discreto, em processos de amostragem, no...
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