Analise Combinatoria

ANÁLISE COMBINATÓRIA

É um ramo das ciências matemáticas que se dedica ao estudo das técnicas de contagem.

1 Factorial

O produto de factores inteiros é sucessivo desde n até a unidade ,representam-se abreviadamente pelo símbolo n! que se lê “factorial de n”
Ex: a) 4.3.2.1 = 4! b) 7.6.5.4.3.2.1 = 7! c) (2!)3 = (2!) . (2!) . (2!) = (2.1) . (2.1) . (2.1) = 8

2 Arranjos simples de n elementos agrupados p a p

É o no de grupos que se podem formar com p dos n objectos dados, diferindo uns dos outros, quer pela ordem quer pela natureza.
Podem ser chamados arranjos sem repetição.
An p ou A n.p
“An p” Usa-se arranjos simples de n elementos agrupados p a p
Ex: A={1,2,3}

Grupos formados por 1 só elemento:
1 ; (2) ; (3) ; são três: A13 =3

Grupos formados por dois elementos.
(1,2) ; (1,3) ; (2,1) ; (2,3) ; (3,1) ; (3,2) portanto A32 =6

Grupos formados por 3 elementos:
(1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,1,3) ; (2,3,1) ; (3,1,2) (3,2,1) então A33 =6

Se p = n então An p = n! ou seja Ann = pn = n!

Generalizando
1. A1n =n 2. A2n = A1n (n-1) 3. A3n =A2n (n-2) = A1n (n-1)(n-2) 4. A4n = A3n (n-3) = A1n (n-1)(n2)(n-3).

p. Apn = Apn -1[n-(p-1)]= Apn -1 (n-p+1)(p>1)

Uma vez que os arranjos de n elementos tomados p a p se podem obter a partir dos arranjos de n elementos tomados (p-1) a (p-1), colocando à direita de cada um deles um dos elementos que ainda não figuram ali e que são números de [(n-p+1)].
Fazendo substituição sucessiva, finalmente teremos Apn =n(n-1)(n-2)…(n-p+1) n, p € IN ≤ n

Logo o numero total de arranjos de n elementos p a p é igual ao produto de p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n.

Ex: A45 =5.4.3.2 = 120 A610 = 10.9.8.7.6.5 = 151200 A38 = 8.7.6 = 336.

Seja Apn= n!/(n-p)!

0 ≤ p ≤ n,p,n € IN

Ex: A37 = 7!/(7-3)! = 7.6.5.4!/4! = 210
b) A66 = 6!/(6-6)! = 6!/0! = 6.5.4.3.2.1/1 = 7200

Note que 0! = 1, por convenção.

3. Permutação simples de n elementos