Analise combinatoria

ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL E COMBINAÇÕES:
FATORIAL
Definição: O fatorial de n, indicado por n! é dado por

n!  n   n  1 n  2  ,,, 3  2 1

Obs:

0!  1!  1

Exemplo: Calcule:
1)

4! = 4.3.2.1  24

2)

7! 7.6.5.4.3!

 84O
3!
3!

COMBINAÇÕES: Consistem em um caso particular de enumeração em que se deseja estudar o nº de maneiras de organizar R objetos extraídos de um universo formado por N objetos. Nesta situação, a alteração da ordem dos objetos é irrelevante.
O número de combinações possíveis de r elementos extraídos de n elementos é dado por Cn , r 

n! r ! n  r !

Exemplo: Quantas comissões de 3 membros podemos formar com 8 pessoas? R. 56

cn , p 

n!
8!
8!
8.7.6.5!
8.7.6.
336
 C8,3 
 C8,3 
 C8,3 
 C8,3 
 C8,3 
 C8,3  56
(n  p) p!
(8  3)3!
(5!)3!
(5!)3!
3.2.1
6

Exercícios
1) Simplifique as expressões:

12! 12.11.10!
=
 132
10!
10!
4! 5! 4.3.2.1!5.4.3.2.1! 144
b)
=

6
4.3.2.1!
24
4!
6!
6.5! 6
c)
=
 6
5!.2! 2
5!2!
8! 8.7.6.5.4! 8.7.5
d)
=

 280
4!6!
4!6!
a)

2) Calcule:
a)

C5,3 =

cn , p 

b)

cn , p 

c) cn , p 

n!
5!
5!
5.4.3!
5.4
20
 C5 , 3 
 C5 , 3 
 C5 , 3 
 C5 , 3 
 C5 , 3 
 C5,3  10
(n  p) p!
(5  3)3!
(2!)3!
(2!)3!
2!
2

C6,2

=

n!
6!
6!
6.5.4!
6.5
30
 C6 , 2 
 C6 , 2 
 C6, 2 
 C6, 2 
 C6 , 2 
 C6, 2  15
(n  p) p!
(6  2)2!
(4!)2!
(4!)2!
2!
2!

C7,5 n! 7!
7!
7.6.5!
7.6
42
 C7 , 5 
 C7 , 5 
 C7 , 5 
 C7 , 5 
 C7 , 5 
 C7,5  21
(n  p) p!
(7  5)5!
(2!)5!
(2!)5!
2.1
2

3) Uma IES possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos, um diretor, um coordenador e um supervisor pedagógico. Quantos são as possibilidades?
R.4.896

An, p 

n!
18!
18!
18.17.16.15!
 A18,3 
 A18,3 
 A18,3 
 A18,3  4896
(n  p)!
(18  3)!
15!
15!

4) Uma IES possui 9 professores de matemática. Quatro