Amostra Estartificaca

Capítulo 3
Amostragem Estratificada
3.1

Notação

População dividida em H estratos; estrato h tem tamanho Nh
U =

H
S

h=1

Uh

Uh ∩ Uh0 = ∅

U = {(1, 1), . . . , (1, N1 ), . . . , (h, 1), . . . , (h, i), . . . , (h, Nh ), . . . , (H, 1), . . . .(H, NH )}
Vetor da característica populacional:
Y = (Y11 , . . . , Y1N1 , . . . , Yhi , . . . , YHNH )

3.2

Parâmetros populacionais

• Total do estrato h

τh =

Nh
P

Yhi

(3.1)

i=1

• Média do estrato h

μh =

• Variância do estrato h

• Peso do estrato h

Nh
1 P
Yhi
Nh i=1

Nh
1 P
(Yhi − μh )2
Nh i=1
Nh
P
1
=
(Yhi − μh )2
Nh − 1 i=1

(3.2)

σ 2h =

(3.3)

Sh2

(3.4)

Wh =

28

Nh
N

(3.5)

CAPÍTULO 3. AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
• Total geral τ= Nh
H P
P

Yhi =

h=1 i=1

• Média geral μ= • Variância geral σ2 =
=
=
=
σ2 =

29

H
P

Nh μh

(3.6)

h=1

H
H
P τ 1 P
Nh μh =
Nh μh
=
N
N h=1 h=1 (3.7)

Nh
Nh
H P
H P
1 P
1 P
(Yhi − μ)2 =
(Yhi − μh + μh − μ)2
N h=1 i=1
N h=1 i=1
Nh
Nh
Nh
H P
H P
H P
1 P
1 P
2 P
(Yhi − μh )2 +
(μh − μ)2 +
(Yhi − μh ) (μh − μ)
N h=1 i=1
N h=1 i=1
N h=1 i=1
Nh N
Nh
H P
H
H
P
1 P
2 P
1 P h (Yhi − μh )2 +
Nh (μh − μ)2 +
(μh − μ) (Yhi − μh )
N h=1 i=1 Nh
N h=1
N h=1 i=1 Nh
H N
H
H
P
P
P
P
1
2 h ·
(Yhi − μh )2 +
Wh (μh − μ)2 +
(μ − μ) × 0 =⇒
Nh i=1
N h=1 h h=1 N h=1 H
H
P
P
Wh σ 2h +
Wh (μh − μ)2
(3.8)
h=1

h=1

Definindo a variância dentro dos estratos como a média das variâncias nos estratos σ 2d =

H
P

Wh σ 2h

(3.9)

Wh (μh − μ)2

(3.10)

h=1

e a variância entre estratos como σ 2e =

H
P

h=1

resulta que

σ 2 = σ 2d + σ 2e

(3.11)

De (3.8) e da relação entre σ e S resulta que
H
H
P
N −1 2
Nh − 1 2 P
S =
Wh
Sh +
Wh (μh − μ)2 =⇒
N
N h h=1 h=1 H N N −1
H N
P
P
N −1 2 h h h Sh2 +
S =
(μh − μ)2 =⇒
N
N
N
N h h=1 h=1 H
H
P
P
(N − 1)S 2 =
(Nh − 1)Sh2 +
Nh (μh − μ)2 =⇒

S2 =

h=1
H
P

h=1
H
P

Nh − 1 2
Nh
Sh +
(μh − μ)2
N
−
1
N
−
1 h=1 h=1

(3.12)

Note que, se todos os estratos têm a mesma média, então σ 2 = σ 2d ; quanto maior σ 2e , maior a diferença σ 2 − σ 2d .

CAPÍTULO 3. AMOSTRAGEM