Aluno

Variáveis Aleatórias
Esperança e Variância
Prof. Tarciana Liberal
Departamento de Estatística - UFPB

ESPERANÇA E VARIÂNCIA
• Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar a distribuição de probabilidade.
• Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos associar certos parâmetros os quais fornecem informações sobre a distribuição.
MÉDIA (Esperança)
VARIÂNCIA
• OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis aleatórias que sintetizem características relevantes de uma distribuição de probabilidade.

ESPERANÇA (VALOR MÉDIO)
• DEFINIÇÃO: Dada uma Variável aleatória discreta X, assumindo os valores x1,x2,...,xn, o valor esperado, a esperança matemática de X, denotado por E(X) é definida por
∞

E( X ) = ∑ xi p( xi ), i =1
=1

se ∑xi.p(xi) < ∞ (se a série convergir)
• NOTAÇÃO:

E(X) = µ

Exemplo 1
• Considere a variável aleatória discreta X: xi 0

1

2

p(xi)

1/4

1/2

1/4

Temos que,
3

E( X ) = ∑ xi p( xi ) = i =1

ESPERANÇA (VALOR MÉDIO)
• DEFINIÇÃO: Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f(x). O valor esperado ou esperança matemática de X é definido como
+∞

E ( X ) = ∫ xf ( x )dx
−∞

se, e somente se,
• NOTAÇÃO:

∫

+∞

−∞

x f ( x )dx < ∞ .

E(X) = µ

Exemplo 2
• Considere a seguinte fdp;
2x, 0 < x < 1, f ( x) = 
0,⋅ para quaisquer outros valores

Temos que,
1

E( X ) = ∫

0

Propriedades da Esperança
1. A média de uma constante é a própria constante.

E ( K ) = K.
2. Multiplicando-se uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante.

E ( KX ) = KE ( X )
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é, respectivamente, a soma ou diferença das médias.

E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E (Y )
Observação: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de X2, 2X+1, dentre outras. Por