Allan

Cálculo Vetorial da Geometria Analítica
Produto Misto

Produto Misto
O produto misto entre vetores consiste em um produto entre 3 vetores, utilizando ao mesmo tempo o produto escalar e o produto vetorial, obtendo como resultado um escalar.
Geometricamente, esse produto é o volume (com sinal) do paralelepípedo formado pelos três vetores dados.

É o determinante de uma matriz 3 X 3, cujas colunas são os três vetores; esse é invariante sob rotações coordenadas. É comum a notação [abc] para designá-lo.
Como calcular?
Exemplo: Se u = x1 i + y1j + z1k , v = x2 i + y2j + z2k e w = x3 i + y3j + z3k , então o produto misto desses vetores é dado pelo determinante:

X1 Y1 Z1
(u,v,w)= X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

Resolução: i j k
(vxw)= x2 y2 z2 = ( y2 z3 – z2y3 ) i - ( x2 z3 – z2x3 ) j + ( x2 y3 – y2 x3 ) k x3 y3 z3

u . ( v x w ) = ( x1 i + y1j + z1k ) . [ ( y2 z3 – z 2y3 ) i - ( x2 z3 – z2 x3 ) j + ( x2 y3 – y2 x3 ) k ]

u . ( v x w ) = x1 ( y2 z3 – z 2y3 ) - y1 ( x2 z3 – z2 x3 ) + z1 ( x2 y3 – y2 x3 )

Exemplo Resolvido

1- Forneça o volume do paralelepípedo formado pelos seguintes vetores: =(3,-1,1), =(1,2,2) e =(2,0,3).

Resolução:
3 -1 1 3 -1
1 2 2 1 2
2 0 -3 2 0
=(3.2.-3)+(-1.2.2)+(1.1.0)-(-1.1.-3)+(3.2.0)+(1.1.2)
=-18-4+0-3-0-4
=-29
V= (,,) = 29

2. Verifique se os vetores =(1,-1,2), =(2,2,1) e =(-2,0,4) são Coplanares.
Resolução:
1 -1 2 1 -1
2 2 1 2 2
-2 0 4 -2 0
=(1.2.4)+(-1,1,-2)+(2.2.0)-(-1.2.4)+(1.1.0)+(2.2.-2)
=8+2+8+8
=26
260 não são Coplanares.

Produto Misto Nulo
Se dois vetores quaisquer são paralelos, então o produto misto é nulo, isto é:
,,=0

Bibliografia

http://www.ebah.com.br/ acesso as 14:30; https://www.youtube.com/?hl=pt&gl=BR acesso as 15:35