Algum

Introdução à Análise Funcional
José Carlos de Sousa Oliveira Santos
Departamento de Matemática Pura
Faculdade de Ciências
Universidade do Porto
Porto — Julho de 2010

Índice
Índice

i

Introdução

iii

1 Teoria da medida
1.1 Álgebras e σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definição e propriedades básicas . . .
1.3.2 Aplicações à medida de Lebesgue . .
1.4 Aplicações ao integral de Riemann . . . . . .
1.4.1 Definição e propriedades elementares
1.4.2 Oscilação . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Derivação
3.1 O teorema da derivação de Lebesgue . . . . . . . . . . . . .
3.2 O teorema fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . .

63
63
73

4 Espaços L p
4.1 Funções convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Desigualdades de Jensen, Hölder e Minkovski . . . . . . .
4.3 Espaços de funções integráveis . . . . . . . . . . . . . . . .

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81
85
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2 Integração
2.1 Funções mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Integral: definição e propriedades elementares
2.3 Integração de limites de sucessões . . . . . . .
2.4 Integral de Riemann e integral de Lebesgue . .

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5 Espaços vectoriais normados
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5.1 Complementos de Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . 101 i ii

Índice

5.2
5.3
5.4
5.5

5.1.1 Famílias livres, famílias geradoras e bases
5.1.2 Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normas: exemplos e propriedades elementares .
Aplicações lineares contínuas . . . . . . . . . . .
Espaços vectoriais normados de