Algerbra linear

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

1. Definição

Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si, na forma genérica, como:

[pic] na qual aij (i, j = 1, 2, 3, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações, xi (i = 1, 2, 3, ..., n) são as n incógnitas e bi (i = 1, 2, 3, ..., n) os termos independentes.

Observação: Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro.

Uma solução de um sistema é uma seqüência de números ([pic] que satisfaz as equações simultâneamente.

2. Formulação Matricial

As equações lineares podem ser descritas na forma matricial como [A][x] = [b], na qual:

[pic]

para o qual:

[pic]
[pic]
Matrizes associadas a um sistema linear:

Matriz Incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Matriz Completa: é a matriz , que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
A=[pic]

Obs: Podemos dizer que um sistema satisfaz a seguinte equação matricial: A.X=B onde

A=[pic]X=[pic] m x n n x 1 = m x 1

[pic]

[pic]

Nesta representação, a solução direta pode ser obtida fazendo-se:

[pic]

para a qual emprega-se os métodos de inversão de matrizes conforme visto na aula anterior (ponto 54). O cálculo da matriz inversa pode ser feito através da propriedade da matriz identidade:

[pic]

Se os coeficientes da matriz inversa [A]-1 são as incógnitas do problema, então o cálculo desses coeficientes resume-se a encontrar a solução do seguinte sistema de equações:

[pic]

Logo, o problema do cálculo de sistemas de equações lineares através do produto da matriz inversa resulta num problema de cálculo de sistemas de equações lineares. Há um método direto para a solução de sistemas de equações lineares denominado método de