Algebra

´ Algebra Linear UFABC Professor Cristian F. Coletti Segundo Trimestre de 2010

Lista 2
(1) Determine para que valores de α o seguinte sistema de equa¸˜es tem solu¸˜o: co ca x+y+z 2x − y + 2z x + 2y + z (2) Mostre que 2x + y + z 2x + y + (β + 1)z βx + 3y + 2z = −6α = = 4 2α = = 1 1

= α

tem solu¸˜o unica a n˜o ser quando β = 0 ou quando β = 6. Se β = 0 mostre que h´ ca ´ a a um unico valor de α para o qual a solu¸˜o existe, e encontre a solu¸˜o geral neste caso. ´ ca ca Discuta que ocorre quando β = 6. (3) Prove que o sistema x + 2y + 3z − 3t = a 2x − 5y − 3z + 12t = b 7x + y + 8z + 5t = c

admite solu¸˜o se, e somente se 37a + 13b = 9c. Ache a solu¸˜o geral do sistema quando ca ca a = 2 e b = 4. (4) Mostre que o seguinte sistema de equa¸˜es co x − y − u − 5t = 2x + y − z − 4u + t = x + y + z − 4u − 6t = x + 4y + 2z − 8u − 5t = tem solu¸˜o se e somente se ca 8α − β − 11γ + 5δ = 0. Encontre a solu¸˜o geral quando α = β = −1, γ = 3, δ = 8. ca (5) Mostre que se A e B s˜o matrizes diagonais ent˜o AB ´ diagonal. a a e (6) Mostre que se A e B comutam ent˜o Am e B n comutam para todo par m, n de inteiros a n˜o negativos. a (7) Verifique que (A (B + C)) = B t At + C t At . (8) Verifique que se A, B ∈ M2×2 (R) ent˜o (AB − BA)jj = 0, j = 1, 2. a (9) Sejam A, B ∈ Mn×n (R). Defina [A, B] := AB − BA. Verifique que [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0. (10) Descreva todas as poss´ ıveis matrizes 2 × 2, que est˜o na forma escada reduzida por linha. a
1 t

α β γ δ

2

(11) Reduza as matrizes ` forma escada reduzida por a uma delas:    1 −2 3 −1 0 1 3 A =  2 −1 2 3  , B =  2 1 −4 3 1 2 3 2 3 2 (12) Determine se a matriz escada) ou nenhuma.  1 2 0  0 0 1 A=  0 0 0 0 0 0

linha e calcule posto e nulidade de cada   0 −2  1 3  eC=  3 −1 2 2 1 −4 −3  2 3   2  1

est´ na forma escalonada, escalonada reduzida por linhas (forma a 3 1 0 0

     1 0 0 1 2 0 3 0     0  ,B =  0 0 1 1 ,C =  0 0 1   0 0 0   0 0 0 1   1 0 0 1 0 0