Algebra

B-1

Apˆndice B e VETORES
B.1

Espa¸os Pontuais e Vetoriais c O espa¸o geom´trico em considera¸ao no estudo da mecˆnica do cont´ c e c˜ a ınuo ser´ sempre o espa¸o a c euclidiano tridimensional E , sendo seus elementos denominados pontos. Como, intuitivamente, a soma de dois pontos n˜o possui significado algum, o espa¸o E n˜o ´ um espa¸o vetorial (vide defini¸˜o de a c ae c ca espa¸o vetorial a seguir). Entretanto, a diferen¸a entre dois pontos x e y pode ser definida como sendo c c um vetor, ou seja, v=y−x x, y ∈ E .

(B.1)

v ´ um elemento de um espa¸o vetorial associado a E , como mostrado na Figura B.1 para uma regi˜o e c a B de E . O espa¸o vetorial formado por todas as diferen¸as entre pontos pertencentes a E ser´ chamado c c a de espa¸o vetorial (real) V (V ≡ 3 ). Da mesma forma, a soma entre um ponto e um vetor, ser´ definida c a como um novo ponto, i.e., y=x+v x ∈ E,

v∈V

(B.2)

Figura B.1: Pontos e vetores numa regi˜o B do espa¸o euclidiano. a c
Um espa¸o vetorial ´ um conjunto de elementos no qual as opera¸oes b´sicas de soma e multiplica¸˜o c e c˜ a ca por escalar est˜o definidas, isto ´, a e v+w ∈ V αv ∈ V

v, w ∈ V v ∈ V, α ∈

(B.3)

B.1. Espa¸os Pontuais e Vetoriais c B-2

Exemplo B.1 O conjunto V ≡ 3 = {(x, y, z ) | x, y, z ∈ } ´ um espa¸o vetorial quando as opera¸oes de e c c˜ soma e multiplica¸˜o por escalar s˜o definidas de forma usual, i.e., dados v =(x1 , y1 , z1 ) e w =(x2 , y2 , z2 ) ca a v + w =(x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ); αv = α(x1 , y1 , z1 ) = (αx1 , αy1 , αz1 ).

o
Exemplo B.2 O conjunto Pn = {a0 + a1 t + a2 t2 + . . . + an tn ; ai ∈ } de todos os polinˆmios de grau
≤ n ´ um espa¸o vetorial se considerarmos as opera¸˜es usuais de soma entre polinˆmios e multiplica¸˜o e c co o ca destes por constantes, ou seja,
(p1 + p2 )(t) = p1 (t) + p2 (t);
(αp1 )(t) = αp1 (t).

Em adi¸˜o `s opera¸˜es b´sicas de