algebra

Simetrias do tetraedro
Imaginemos dois eixos de simetria: um passando por um vértice e pelo centro da face oposta, e outro ligando duas arestas não adjacentes pelos seus pontos médios. Note que as rotações de

π/3

e 2π/3 em torno primeiro eixo leva o

tetraedro nele mesmo e que a rotação de

π

em torno do segundo eixo, tam-

bém. Agora, podemos contar quatro eixos do primeiro tipo e três do segundo, logo temos doze rotações possíveis (contando com a identidade), todas elas produzindo permutações pares nas faces. Já sabemos que esse grupo deve ser um subgrupo do

S4.

Logo temos duas possibilidades. Ou o grupo de rotações do

tetraedro é igual ao

S4

ou ele é um subgrupo próprio H de

S4

tal que |H|

Pelo teorema de Lagrange, se tivermos o segundo caso o, |H| = 12 e H =

12.

A4 .

Agora notemos que não existe rotação possível que troque apenas dois vértices do tetraedro e mantenha os outros dois intactos. Logo a permutação (1 2) não pertence ao grupo de rotações do tetraedro, o que implica que H=S4 e, portanto
H =

A4 ,

que é o grupo de rotações procurado.

Suponhamos que exista um tetraedro ABCD ,podemos representar suas permutações da seguinte forma

I

=

r= α2 =

A
A
A
B
A
A

B
B
B
A
B
D

C
C
C
D
C
B

D identidade D
D
A B C D
A B C D
A B C D s= t= α1 =
C
C D A B
D C B A
A C D B
D
A B C D
A B C D
A B C D β1 = β2 = γ1 =
C
C B D A
D B A C
B D C A

1

γ2 =

A
D

B
A

C
C

D
B

δ1 =

A
B

B
C

C
A

D
D

δ2 =

A
C

B
A

C
B

D
D

logo podemos representar o grupo das permutações do tertraedro como:

H ={I, r, s, t, α1 , α2 , β1 , β2 , γ1 , γ2 , δ1 , δ2 }

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