algebra

objetivos

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AULA

Subanéis e ideais

Meta da aula

Apresentar duas subestruturas algébricas contidas num anel, conhecidas por subanel e ideal.

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Reconhecer as estruturas algébricas subanel e ideal.
• Identificar as propriedades que caracterizam um subanel e um ideal.
• Apresentar exemplos de subanéis e ideais.
• Apresentar e demonstrar algumas propriedades operatórias dos subanéis. Pré-requisitos
Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis desenvolvidos nas Aulas 3 e 4. Você também vai precisar dos conceitos de ideal de Z e dos anéis dos inteiros módulo n do seu curso de Álgebra I.

Álgebra II | Subanéis e ideais

INTRODUÇÃO

Quando você estudou as estruturas algébricas de espaço vetorial e de grupo, você viu que a existência das subestruturas de subespaço vetorial e de subgrupo enriqueceu a compreensão destas estruturas. De forma análoga, estudando o conceito de subanel e ideal, poderemos compreender melhor a estrutura algébrica de anel. Nesta aula, você será apresentado a estas duas subestruturas de um anel.

Definição 1
Seja (A, +, ⋅) um anel. Um subconjunto não-vazio S, S

⊂ A, é

chamado um subanel de A, se (S, +, ⋅) é um anel sem unidade.

!
Dizer que (S, +, ⋅) é um anel sem unidade significa que o axioma A7 da definição de anel não está sendo considerado, ou seja, não estamos exigindo a existência do elemento neutro da multiplicação. Reveja a definição de anel na Aula 3 e as observações que se seguem.
Lembre que, nos casos das estruturas de espaço vetorial e de grupo, temos um critério simples para determinar se um subconjunto não-vazio é um subespaço ou um subgrupo. Vamos estabelecer, também, um critério simples para determinar se um subconjunto não-vazio de um anel é um subanel.

PROPOSIÇÃO 1
Seja S um subconjunto não-vazio de um anel (A, +, ⋅). Então S é um subanel de A se, e somente se, para todo a,b ∈ S, temos
S1. a–b ∈ S; e
S2. a⋅b ∈ S.