Algebra

Álgebra Linear 2012 (Profs. Walter Martins e Valdenize Nascimento) Espaços vetoriais

Atividades
1) Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:

A) O conjunto da matrizes M2x2; com a soma usual e a multiplicação dada por m

a b c d

=

ma mb c d

B) O conjunto dos polinômios de grau  3 cujos gráficos “passam por (0,0)”; com as operações usuais.

2) Considere V = { [ x , y , z ]  ³, 2x – y + 3z = 0 } e W = { [ x , y , z ]  ³, y = 5x }

Determine uma base para V + W e uma para V W.

3) Verifique se são L I : { [ 1 , -2 , 5 ] , [ 4 , -2 , 7 ] , [ 3 , 0 , 2 ] , [ 5 , 2 , -1 ] }. Caso negativo, extraia deste conjunto um subconjunto L I . Em qualquer caso, apresente o subespaço gerado.

4) De quantas maneiras é possível escrever a matriz

‐5 0

0 8 como combinação linear das matrizes 1 0 , 0 1 5) Considere B1 = { x , x² , x³ } e B2 = { x – 3x³ , 2x² + x³ , x – x² }, bases de um Espaço Vetorial P. Encontre a matriz que serve para mudar as coordenadas de um polinômio em P, de B1 para B2 . Apresente um pequeno exercício capaz de ser resolvido usando esta matriz. Resolva-o. 6) “O conjunto das matrizes 4x2 com algum elemento nulo forma um espaço vetorial sobre os reais, com as operações usuais entre matrizes”. Falso ou verdadeiro? Justifique a resposta.

0 3 0 2

e

3 0 ? ‐1 0 Apresente uma delas, se possível.

7) Considere P5 = conjunto dos polinômios de grau  5. Apresente 3 subespaços vetoriais de dimensões diferentes, com suas respectivas bases.

8) Considere V = Conjunto de todos os polinômio pares de grau  4. W = Conjunto de todos os polinômio ímpares de grau  3.

Apresente dois elementos de V, LI