Algebra

INTRODUÇÃO A álgebra booleana, como qualquer outro sistema matemático dedutível, pode ser definida como um conjunto de elementos, um conjunto de operadores, e um número de axiomas, ou postulados, não provados.. Os postulados de um sistema matemático são as suposições, ou considerações básicas a partir das quais é possível se deduzirem as regras, os teoremas, e as propriedades do sistema.

Os postulados mais comuns usados para se formularem várias estruturas algébricas são: 1 – Fechamento: | a * b = c | a,b,c  S | 2 – Lei Associativa: | (a * b) * c = a * (b * c) | a,b,c  S | 3 – Lei Comutativa: | a * b = b * a | a,b  S | 4 – Elemento Identidade: | e * a = a * e = a | a  S | 5 – Inversa: | a * b = e | a,b  S | 6 – Lei Distributiva: | a * (b # c) = (a * b) # (a * c) | a,b,c  S | Um exemplo de estrutura algébrica é um corpo (field). Um corpo é um conjunto de elementos, juntamente com dois operadores binários, cada um atendendo as 5 primeiras leis, e os dois combinados para atender a 6a . A álgebra de Boole é uma estrutura algébrica definida sobre um conjunto B de elementos, juntamente com dois operadores + e  tal que os seguintes postulados (de Huntington) sejam satisfeitos: 1 – a – fechamento em relação ao operador +; b – fechamento em relação ao operador  ;
2 – a – um elemento identidade em relação a + , designado por 0; b – um elemento identidade em relação a  , designado por 1;
3 – a – Lei comutativa em relação a +; b – Lei comutativa em relação a  ;
4 – a –  é distributiva em relação a + : a (b+c) = a b + a b; b – + é distributiva em relação a  : a+(b c) = a+b  a+b;
5 – para todo elemento a  B, existe um elemento a’  B (chamado complemento de a) tal que: (a) a + a’ = 1 e (b) a  a’ = 0 ;
6 – Existem pelo menos dois elementos a, b  B tal que a  b. Como a álgebra de Boole lembra a álgebra dos números reais, os símbolos + e  foram escolhidos para representar seus