Algebra linear

Determinante de uma Matriz
Se a matriz quadrada é de ordem n = 1, temos:

M  a11   det M=det a11   a11  a11    
Se a matriz quadrada é de ordem n = 2, temos:

 a11 a12   a11 a12    det M=det   M a a a22  a22   21   21  a11 a12   a11 .a22  a12 .a21 a 21 a 22
 +

Se a matriz quadrada é de ordem n = 3, temos:

 a11 a12  M  a 21 a22   a 31 a32 a11 a12

a13   a11 a12   a23   det M=det a21 a22     a33  a31 a32 a13 a11 a12 

a13   a23     a33 

 a 21 a 22 a 31 a 32
  

a 23 a 21 a 22 a 33 a 31 a 32
+ +

+

 a11 .a22 .a33  a12 .a23 .a31  a13 .a21 .a 32 a13 .a22 .a31  a11 .a23 .a32  a12 .a21 .a33
Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861)

MENOR COMPLEMENTAR OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO
Menor complementar do elemento aij, indicado por Dij , de uma matriz M de ordem maior ou igual a 2, é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.

COFATORES

Se a matriz quadrada é de ordem n, onde n  4, aplicaremos o Teorema de Laplace, que também é válido para determinantes de ordens 2 e 3.

Para tanto, basta escolhermos uma linha ou coluna do determinante e calcular os somatórios dos produtos dos elementos da fila escolhida pelos respectivos cofatores.
 a11 a12  a 21 a 22 M  ...  ...  an1 an2  ... a1j ... a1n   ... a 2n    ... ...   ... ann  

... a 2j ... ...

... an3

Vamos escolher uma coluna genérica j, teremos:
 a11 a12  a 21 a 22 M  ...  ...  an1 an2  onde :

... a1n   ... a 2j ... a 2n    ... ... ... ...   ... anj ... ann   ... a1j

det M 

n 1 n j

 anj .Anj

j

Anj  ( 1)

.Dnj

Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.

Se escolhermos uma linha genérica i, teremos:
 a11 a12  a 21 a 22   ...  ... M  ai1 ai1   ... ...  a  n1 an2 onde :

... a1n   ... a 2n    ... ...   ... ain   ... ... 