algebra linear

Instituto Superior Técnico - Álgebra Linear - 2o Semestre 2013/2014
LEAN - LEMat - MEAer - MEAmbi - MEEC - MEMec
4a Ficha de exercícios para as aulas de problemas: 19 Mar. - 21 Mar.
1. Determine as condições que os parametros i ; i (i = 1; 2) devem veri…car para que os vectores ( 1 ; 1 ; 3) e ( 2 ; 2 ; 9), no espaço linear R3 , sejam linearmente independentes.
2. Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R3 são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique
(para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior no possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
(i) f(4; 2; 1); (2; 6; 5); (1; 2; 3)g

(ii) f(1; 2; 1); (3; 2; 5)g

(iii) f(1; 2; 3); (1; 1; 1); (1; 0; 1)g

(iv) f(1; 0; 1); (0; 0; 0); (0; 1; 1)g

(v) f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g (com x; y; z 2 R).

3. Determine todos os valores de a para os quais f(a2 ; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)g é uma base de R3 :
4. Sejam U = L (f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0)g) e Vk = L (f(2; k; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) subespaços de
R4 : Determine os valores de k para os quais dim (U \ Vk ) = 1.
5. No espaço linear R3 , construa uma base que inclua os vectores:
(i) (1; 0; 2) e (0; 1; 2).

(ii) (2; 1; 1) e ( 4; 2; 1).

(iii) ( 1; 2; 1) e (1; 0; 1).

6. Veri…que que os seguintes subconjuntos do espaço linear de todas as funções reais de variável real são linearmente dependentes. Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior no possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
(i) S = fcos2 t; sen2 t; cos 2tg
(ii) S = f2; sen2 t; cos2 tg
(iii) S = fet ; e t ; cosh tg

(iv) S = 1; t; t2 ; (t + 1)2
Determine uma base para cada subespaço L(S) e calcule a respectiva dimensão.

7. Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real. Sejam f; g; h 2 V , com f (t) = sen t, g (t) = cos t e h (t) = t.