Algebra Linear

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Algebra
Linear
2a Lista de Exerc´ıcios
Estudante:

Turma:

Professor: Wesley

Data:

Lista de exerc´ıcios sobre produto vetorial e produto misto
1 - Determine u × v, e verifique que ´e ortogonal a u e v.
a) u = 1, 2, −3 ; v = −4, 1, 2
ˆ v = −ˆi − 3ˆj + kˆ
b) u = 3ˆi + 2ˆj − k;
2 - Sejam u = 2, −1, 3 , v = 0, 1, 7 e w = 1, 4, 5 . Determine u × (v × w).
3 - Determine dois vetores unit´arios que s˜ao ortogonais a ambos u = −7ˆi + 3ˆj + kˆ e
ˆ
v = 2ˆi + 4k.
4 - Determine a a´rea do paralelogramo que tem os vetores u = ˆi − ˆj + 2kˆ e v = 3ˆj + kˆ como lados adjacentes.
5 - Determine a a´rea do triˆangulo com v´ertices P (2, 0, −3), Q(1, 4, 5) e R(7, 2, 9).
6 - Use um produto misto para determinar o volume do paralelep´ıpedo que tem os
ˆ v = 4ˆi + 5ˆj + kˆ e w = ˆi + 2ˆj + 4kˆ como arestas adjacentes. vetores u = 3ˆi + ˆj + 2k,
ˆ v = 4ˆi − ˆj + kˆ e w = ˆi − ˆj situam-se no
7 - Mostre que os vetores u = 5ˆi − 2ˆj + k, mesmo plano.
ˆ v = ˆi+ ˆj +2kˆ
8 - Considere o paralelep´ıpedo com as arestas adjacentes u = 3ˆi+2ˆj + k,
ˆ
e w = ˆi + 3ˆj + 3k.
a) Determine o volume.
b) Determine a a´rea da face determinada por v e w.
c) Determine o aˆngulo entre u e o plano contendo a face determinada por v e w.

9 - Mostre que no espa¸co 3-D a distˆancia d de um ponto P a` reta L que passa pelos pontos A e B pode ser expressa como d= →

u×v v →

onde u =AP e v =AB.
10 - Use a f´ormula do exerc´ıcio anterior para determinar a distˆancia entre o ponto
P (−3, 1, 2) e a reta que passa pelos pontos A(1, 1, 0) e B(−2, 3, −4)
11 - Determine o volume o tetraedro com v´ertices P (−1, 2, 0), Q(2, 1, 3), R(1, 0, 1) e
S(3, −2, 3).
12 - Determine o aˆngulo entre os vetores n˜ao nulos u e v, sabendo que u·v = u × v .
13 - Mostre que se u e v forem vetores no espa¸co 3-D, ent˜ao u×v 2

= u

2

v

2

− (u · v)2

Este resultado, a`s vezes, ´e chamado de identidade de Lagrange.