Algebra Linear

TEOREMA ( Propriedades das opera¸oes matriciais) c˜ Supomos as dimens˜es das matrizes A, B, C tais que as opera¸oes abaixo consideradas est˜o o c˜ a bem definidas. Temos ent˜o: a I. A+B=B+A (comutatividade da soma matricial)
II. A+(B+C)=(A+B)+C (associatividade da soma matricial)
III. A(BC)=(AB)C (associatividade da multiplica¸ao matricial) c˜ IV. A(B+C)=AB+AC (distributividade a esquerda relativamente a soma matricial)
`
`
V. (B+C)A=BA+CA (distributividade a direita relativamente a soma matricial)
`
`
IV’. A(B-C)=AB-AC (distributividade a esquerda relativamente a diferen¸a matricial)
`
` c V’. (B-C)A=BA-CA (distributividade a direita relativamente a diferen¸a matricial)
`
` c VI. a(B+C)=aB+aC (distributividade da multiplica¸ao por um escalar relativamente a c˜ ` soma matricial)
VI’. a(B-C)=aB-aC (distributividade da multiplica¸ao por um escalar relativamente a diferc˜
`
en¸a matricial) c VII. (a+b)C=aC+bC (distributividade da multiplica¸ao pela soma de escalares) c˜ VII’. (a-b)C=aC-bC (distributividade da multiplica¸ao pela diferen¸a de escalares) c˜ c
VIII. a(bC)=(ab)C (associatividade da multiplica¸ao por um escalar) c˜ IX. a(BC)=(aB)C=B(aC) (comutatividade da multiplica¸ao por um escalar relativamente c˜ a multiplica¸ao matricial)
`
c˜

onde a, b, c ∈

.

1

TEOREMA (Propriedades das matrizes invert´ ıveis). Vers˜o 1 a Seja A uma matriz n × n, ent˜o as seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes: a c˜ a (i) A ´ invert´vel. e ı
(ii) O SEL homog´neo, Ax = 0, s´ admite a solu¸ao trivial. e o c˜ (iii) O resultado do M´todo de Gauss-Jordan aplicado a A ´ a matriz identidade n × n. e e
(iv) A admite uma factoriza¸ao na forma de produto de matrizes elementares. c˜ (v) O SEL Ax = b ´ poss´vel e determinado para cada vector independente b n × 1. e ı
´
Observa¸ao: Vamos ver este teorema ”crescer” ao longo da nossa cadeira de Algebra c˜ Linear.

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Exemplo de aplica¸ao do M´todo de Gauss-Jordan