Algebra Linear com Aplicações - Anton

1. Para cada um dos seguintes pares de equa¸˜es param´tricas, esboce a curva e determine sua equa¸˜o cartesiana. co e ca (a) x = −1 + t,

y = 2 − t, t ∈ R.

(b) x = −1 + t2 ,

(f) x = sen t, y = cos 2t, t ∈ [0, 2π].

y = 2 − t2 , t ∈ R.

(g) x = cos t, y = −3 + sen t, t ∈ [0, 2π].

(c) x = cos t, y = sen t, t ∈ R.
2

2

(h) x = 3 cos t, y = 2 sen t, t ∈ [0, 2π].

(d) x = t , y = t , t ∈ R.
2

3

(e) x = t2 − 4, y = 1 − t,

(i) As equa¸˜es (a), (b) e (c) representam a mesma co curva?

t ∈ R.

2. Fa¸a o esbo¸o das curvas definidas pelas seguintes fun¸˜es vetoriais: c c co (a) σ(t) = (2, 1, t)

(c) σ(t) = (t, t2 , 1)

(e) σ(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)

(b) σ(t) = (t, t, t)

(d) σ(t) = (2 cos t, 3 sen t, 0)

(f) σ(t) = (3t, cos t, sen t)

3. Dˆ uma parametriza¸˜o para cada uma das curvas: e ca
(a) A reta 2x − 3y = 6.

(d) A elipse

x2 y2 + 2 = 1. a2 b

(b) A par´bola x2 = 4y. a e
(e) O ramo da hip´rbole
(c) A circunferˆncia (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . e x2 y2 − 2 = 1, x ≥ a.
2
a b (f) O segmento de reta A = (−1, 0, 2) e B = (2, 3, 3).

4. Nos exerc´ ıcios a seguir σ(t) denota o vetor posi¸˜o de uma part´ ca ıcula se movendo em cada instante t. Em cada caso determine o vetor velocidade V (t), o vetor acelera¸ao A(t), a velocidade escalar e o vetor velocidade em c˜ t = t1 .
(a) σ(t) = (2 + cos 6t, 2 + sen 6t),
(b) σ(t) = (cos 2t, −3 sen t),
2t

2

(c) σ(t) = (e , t ),

t1 = π/9.

(d) σ(t) = (cos t, sen t, 2),
(e) σ(t) = (1, t − 1, t2 + 1),

t1 = π.

t1 = 0.

t1 = π/2. t1 = 2.

(f) σ(t) = (3 cos 2t, 3 sen 2t, 8t),

t1 = π/8.

5. Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posi¸˜o: ca σ2 (t) = (1 − t, 3 + t2 ),

σ1 (t) = (1 + t, 2 + 3t) e

t≥0

(a) Mostre que eles nunca se chocar˜o. a (b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
(c) Em que pontos elas se cruzam?
(d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro ´ m´ e ınima e qual ´