ALGA

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
1. ESPAÇOS VETORIAIS
1.1. ESPAÇO VETORIAL REAL
Seja um conjunto V ≠ φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar,

tais que ∀u, v ∈ V, u+v ∈ V e ∀α ∈ ℜ , ∀u ∈ V , αu ∈ V . O conjunto V com as operações acima é chamado espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades:
Em relação à adição:
A1 − u + v = v + u ,

∀u,v ∈ V (a adição deve ser comutatividade )

A 2 − (u + v) + w = u + (v + w) , ∀u,v,w ∈ V (a adição deve ser associativa )
A3 −
A4 −

∃ 0 ∈ V , ∀u ∈ V , u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição)
∀ u ∈ V , ∃ (-u) ∈ V , u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V)

Em relação à multiplicação por escalar:
M 1 − (α + β)u = αu + βu, ∀α,β ∈ ℜ e ∀ u ∈ V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de escalares) Μ 2 − α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ ℜ e ∀u,v ∈ V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de vetores) M 3 − (αβ)u = α(βu), ∀α,β ∈ ℜ e ∀ u ∈ V (a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de escalares) M 4 − 1u = u, ∀ u ∈ V (o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar)
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.

Exemplos de espaços vetoriais:
1. O conjunto ℜ n das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
2. O conjunto M mxn das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. n n −1
3. O conjunto Pn ={a 0 x + a 1 x
+ ... + a n ; a i ∈ ℜ } dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

4. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por
(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x) , ∀ α ∈ℜ .

1.2. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores v1 , v 2 ,..., v n de um espaço vetorial V.