Academico

4 A transformada em z
Fernando Coito

4.1. Definição de transformada em z
Considere-se um sinal x(k), real, em tempo discreto (ou seja, em que a variável independente, k, é um número inteiro). A sua transformada em z é definida por X(z) = Z{x(k)} =
+∞

k = -∞

∑ x(k)z-k

em que a variável z∈C l

Repare que a variável k é uma variável “muda”, ou seja, uma variável que desaparece uma vez calculado o somatório. A transformada em z converte o sinal x(⋅), função do “tempo discreto” k, numa função complexa X(⋅), na variável z.
+∞

Em geral, a expressão

k = -∞

∑ x(k)z-k

não converge para todos os valores de z∈C . l

Normalmente este somatório pode ser calculado apenas numa região – a região de convergência (também re4ferida por RC) –, a qual é um subconjunto de C. l O conceito por detrás da transformada pressupõe que a substituição da função x(k) por outra X(z) seja de modo a que o processamento de X(z) e as conclusões que sobre ele sejam tiradas tenham uma equivalência em x(k) (Fig. 4.1). processamento no tempo

x(k)

y(k)

transformação em z

Inversão da transformação em z

X(z)

processamento em z

Y(z)

Figura 4.1 – Utilização da transformada em z.

Isto pressupõe que existe um mecanismo de inversão da transformação em z, associado a uma relação biunívoca entre o sinal no tempo x(k) e a sua transformada X(z) (Fig. 4.2).

1

transformação

x(k) transformação inversa

X(z)

Figura 4.2 – Relação biunívoca da transformação em z.

O problema do cálculo da inversão da transformada em z será tratado na secção 4.5.

Exemplo 4.1 – Considere-se o sinal discreto

3 2 x(k) = 1 0 que corresponde à figura 4.3.

se se se se

k=0 |k| = 1 |k| = 2 |k| > 2

x(k)

-5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

k

Figura 4.3 – Sinal x(k) do exemplo 4.1.

Como apenas alguns valores de x(k) são diferentes de zero, é fácil calcular a expressão de X(z) directamente: X(z) = (+1)z+2 + (+2)z+1 + (+3)z0 + (+2)z-1 + (+1)z-2 =