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MATEMÁTICA I
Exercícios

Funções reais de variável real
Limites e continuidade

J M Oliveira Pires
J. M. Salazar

LICENCIATURAS EM: CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO

ANO LECTIVO 2011/12

1. Resolva em R as seguintes equações:
¯
¯
(b) |x + 2| = −4
(a) ¯x2 − 4x¯ = 3
¯
¯
(d) |x − 3| + ¯x2 − 9¯ = 0

¯
¯
¯ 2 − 5x ¯
¯
¯=x
(g) ¯ x+3 ¯

¯
¯
(c) ¯x2 + 1¯ = 2

(h) |2x + 1| |−x + 3| = 2x + 1

2. Resolva em R as seguintes condições:
¯
¯
(a) |x − 3| < x − 3
(b) ¯x2 − 3¯ < 4
(d) |x + 11| < −6

¯
¯
(h) ¯x +
¯

(i)|x − 1| = 1 − x

¯
¯
(c) ¯x2 − 3¯ ≥ 4

¯
¯
(f) ¯x2 + x¯ ≥ 4x

(e) |x − 3| ≤ 2x − 1

(g) |x + 5| < |x − 3|

¯
¯
(f) ¯x2 − 3¯ = 2x

(e) 2 |x − 3| = |4x|

¯
6¯
¯ ≥ |2 − x| x¯ ¯
¯
¯1
¯
¯ − 3x¯ ≤ x
(i) ¯
¯
x

3. (a) Determine o interior, o exterior, a fronteira e o derivado dos seguintes conjuntos:
A =]0, 2[,

B =]0, 2] ∪ {3, 4} ,

C = Z,

ª
©
3
D = x ∈ R: x = n , n ∈ N ,

E = Q,

F =R\Q

H =]0, 1] \ Q,

©
I = x ∈ R : x = (−1)n ×

G = {x ∈ Q : |x + 4| < 3} ,

(b) Dos conjuntos anteriores indique os que são abertos e os que são fechados.
4. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por: f (x) = 2 + 3e2x+5

e

g(x) = 5 + 2 ln(x + 5)

(a) Determine o domínio e o contradomínio de f e de g.
(b) Resolva as inequações
(ii) g(x) ≥ f (− 5 )
2

(i) f(x) ≤ g(−4)

(c) Caracerize a inversa de cada uma das funções anteriores.

5. Considere a função real de variável real g definida por g (x) = −1 + ln
(a) Determine o domínio e os zeros.
¡ ¢
(b) Calcule g 2 .
3

³

2x−1 x+2 ´
:

(c) Represente na forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais o conjunto
A = {x ∈ R : g (x) ≤ −1}.

(d) Determine o fecho de A.
1

n−1 n ª

.

6. Considere f (x) = e2x e g (x) = ln x:
(a) Indique os domínios de f e g.
(b) Mostre que (f ◦ g) (x) = x2 , ∀x ∈ R+ .
(c) Determine o conjunto solução da condição (f ◦ g) (x) ≤ 2x + 3.