954169 Gr ficos e Derivadas

GRAFICOS E DERIVADAS
Teorema de Rolle
Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
 f é contínua no intervalo fechado [a,b].
 f é derivável no intervalo aberto (a, b).
 f(a) = f(b)
Então existe um ponto c em (a,b) tal f’(c) = 0.

Exemplo 1 Demonstre que a equação x³ + x – 1 = 0 tem exatamente uma raiz real. Teorema do Valor Médio
Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
 f é contínua no intervalo fechado [a,b].
 f é derivável no intervalo aberto (a, b).
Então existe um ponto c em (a,b) tal f’(c) =

f (b)  f ( a )
.
ba

Exemplo 2 Suponha que f(0) = -3 e que f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x.
Qual é o valor maior possível para f(2)?

Teste Crescente/Decrescente ou Teste C/D
(a) Se f’(x) > 0 sobre um intervalo, então f é crescente nele.
(b) Se f’(x) < 0 sobre um intervalo, então f é decrescente nele.
Exemplo 3 Encontre o intervalo onde a função f(x) = 3x4 – 4x³ - 12x² + 5 é crescente e o intervalo onde ela é decrescente.

Teste da Primeira Derivada
Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f.
 Se f’ mudar de negativa para positiva em c, então f tem um mínimo local em c.
 Se f’ mudar de positiva para negativa em c, então f tem um máximo local em c.
 Se f’ não mudar de sinal em c, então f não tem máximos ou mínimos locais em c.
Exemplo 4 Encontre os valores máximos e mínimos locais de f(x) = 3x4 – 4x³ 12x² + 5. Faça um esboço do gráfico desta função.

Exemplo 5 Encontre os valores máximos e mínimos locais de f(x) = ex - x. Faça um esboço do gráfico desta função.

Concavidade do Gráfico de uma Função
Dizemos que o gráfico de uma função é côncavo para cima no intervalo I, quando está acima de todas as retas tangentes em I. Caso o gráfico esteja abaixo das retas tangentes, ele será côncavo para baixo em I.

Teste da Concavidade
Se f’’(x) > 0 para todo x pertencente ao intervalo I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I. Da mesma forma se f’’(x) < 0, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.
Ponto de