7 Lista de Exerc cios Diferencia o Parcial SILVIA

Cálculo Diferencial e Integral III – Profa. Silvia C. M. Rodrigues

7ª Lista de Exercícios – Diferenciação Parcial
Questão 01. Sendo f ( x, y ) = 2x 3 y + 3 xy 2 − 2 , calcule : a)

∂f
(1,−2)
∂x

b)

∂f
(1,−2)
∂y

As derivadas parciais de uma função de duas variáveis possui uma interpretação geométrica:

∂f
( x 0 , y 0 ) representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f , no ponto P(x0,y0,z0), na
∂x
∂f direção do eixo x. Já
( x 0 , y 0 ) possui o mesmo significado, só que na direção do eixo y.
∂y
Questão 02. Determine a inclinação e a equação da reta tangente a superfície dada por
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f(x,y) = x y + 2xy + y x , no ponto P(-3,1,0).
a) na direção do eixo x

b) na direção do eixo y. xy Questão 03. Determine a inclinação e a equação da reta tangente a superfície dada por f(x,y) = e , no ponto P(0,1,1).
a) na direção do eixo x;

Questão 04.

b) na direção do eixo y. x Mostre que as funções u = e cosy

x

e

v = e seny, satisfazem as

equações

∂u ∂v
∂u
∂v e .
=
=−
∂x ∂y
∂y
∂x
(Obs.:

∂u ∂v
∂u
∂v e são chamadas equações de Cauchy – Riemann).
=
=−
∂x ∂y
∂y
∂x
Vimos que as derivadas parciais também podem ser interpretadas como uma taxa de

variação instantânea, possuindo assim inúmeras aplicações.
Questão 05. Num sistema coordenado retangular Oxyz um objeto está situado de modo que a
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temperatura T no ponto P(x,y,z) é dada por T = 3x – 15y – z

graus Celsius. Determine a taxa de

variação da temperatura no ponto P(2,1,-3) na direção:
a) do eixo x;

b) do eixo y;

c) do eixo z.

Questão 06. A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy, de modo que
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a profundidade sob o ponto (x,y) é dada por P = 300 – 2x – 3y , onde x, y e P são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto (4,9), ache:
a) a profundidade do lago nesse ponto;
b) a taxa instantânea à qual a profundidade varia na direção do eixo x;
c) a taxa instantânea à qual a profundidade varia na direção do eixo y.

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Questão 07. Idem