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Aula 6
Derivadas Direcionais e o
Vetor Gradiente

MA211 - Cálculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Derivadas Direcionais

Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de z = f (x), x = (x1, x2, . . . , xn ), no ponto a = (a1, a2, . . . , an ) na direção de um vetor unitário u = (u1, . . . , un ).

Lembre-se que um vetor u é unitário se kuk = 1.

Exemplo 1

Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir.

A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.
Definição 2

Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis, isto é, D ⊆ Rn . Considere um ponto a no interior de D e u ∈ Rn um vetor com kuk = 1. A derivada direcional de f em a na direção u é

Duf (a) = lim h→0 f (a + hu) − f (a) h , se esse limite existir.

Observação
A distância entre a e a + hu é |h|. Logo, o quociente f (a + hu) − f (a) h representa a taxa média de variação de f por unidade de distância sobre o segmento de reta de a à a + hu.
Derivada Direcional e as Derivadas Parciais

A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no seguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja, ei = (0, . . . , 0, 1
|{z}
, 0, . . . , 0) i -ésima componente

é a derivada parcial de f em a com respeito à xi , ou seja,

∂f
Dei f (a) = ∂x (a) = fxi (a) = Di f (a).
Derivadas Parciais e a Derivada Direcional
Considere a função g : R → R dada por g(h) = f (a + hu).

Por um lado, note que g0(0) = lim g(h) − g(0)

= lim

f (a + hu) − f (a)