5 Grupos Adimensionais

Teorema de Buckingham π
“Se uma equação é dimensionalmente homogênea, ela poderá ser reduzida a uma relação entre um conjunto completo de produtos adimensionais”.

2005 Eng. Prod. 1

Fenômeno Físico
Tendo-se um conjunto de n quantidades físicas dados por A1, A2, ......, An que estão envolvidos na formação de um fenômeno físico e podendo ser expressa pela relação:

f ( A1 , A2 ,...., An ) = 0

2005 Eng. Prod. 2

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Grupamentos Adimensionais
Define-se a forma geral de um grupamento adimensional de n quantidades físicas, como sendo: π = A1a . A2a ....... Ana
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2

n

a1, a2, a3, ......an são expoentes adimensionais.
2005 Eng. Prod. 3

Teorema π
O teorema π diz que podermos inscrever a relação do fenômeno físico como:

(π 1 , π 2 ,......, π n−r ) = 0
, onde:
– n → número de quantidades físicas
– r → rank de uma matriz m x n (colunas x linhas)
– m → número de dimensões fundamentais necessárias para descrever essas quantidades físicas. 2005 Eng. Prod. 4

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Grupamentos Adimensionais
Temos (n - r) grupamentos adimensionais possíveis de serem formados com a seguinte forma:

Π1 = A1a1 . A2b1 . A3c1 ....... ArZ+11
, onde:
– (n - r)
– (r + 1)
– (r < m)

número de grupos adimensionais quantidades em cada grupo na grande maioria dos casos r = m
2005 Eng. Prod. 5

Exemplo teórico
Para exemplificar o procedimento anterior escolhemos o seguinte fenômeno físico:
– Supor o seguinte fenômeno: um corpo em queda livre (começando do repouso).

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Exemplo
• Distância (altura)
S → L
• Tempo t → T
• Aceleração da gravidade g → L T-2
• Neste exemplo

n=3em=2

2005 Eng. Prod. 7

Exemplo
• Logo a forma geral de um grupamento adimensional para este caso pode ser escrito como: Π = g at b S c
• ou em termos dimensionais como:

1 = ( LT −2 ) a (T ) Lc b 2005 Eng. Prod. 8

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Exemplo
• Agrupando as dimensões temos:

1 = La + cT −2 a +b
• Para a determinação dos expoentes definimos o seguinte sistema:
– L: a+c = 0
– T: -2a+b = 0
2005 Eng. Prod. 9

Exemplo
• Na verdade este