2VA Probabilidade

Resolu¸c˜ao da 2a Verifica¸c˜ao de aprendizagem
Marrone Dantas, J´ ulio Cesar
Augosto de 2014

1

1a Quest˜ ao Dado que ser˜ ao nescessarias um total de tentativas X at´e que ocorra um sucesso,
´e n´ otavel que a distribui¸c˜ ao tem um aproxima¸c˜ao a distribui¸c˜ao geom´etrica.Dessa forma para encontrarmos o valor desejado devemos recorrer a sua EMV, partindo da estima¸c˜ ao do termo θ, sendo assim temos:
A distribui¸c˜ ao geom´etrica segue a seguinte fun¸c˜ao de probabilidade: x−1 f (x|θ) = p(1 − p)

(1)

Assumindo com θ nossa variavel aleatoria tomando uma amostra aleat´oria θ1 ...θn de θ para encontrarmos o estimador de m´axima verossimilhana¸ca: n xi −1

θ(1 − θ)

L(θ, x) =

(2)

i=i

Desenvolvendo a equa¸c˜ ao temos que: n L(θ, x) = θ(1 − θ)

xi −n

(3)

i=1

Alicando o logaritimo temos que: n l(θ, x) = nln(θ) +

−n +

xi

. ln(1 − θ)

(4)

i=1

Desenvolvendo a equa¸c˜ ao: l(θ, x) =

1 n − θ 1−θ

n

−n +

xi i=1 Ap´ os a equa¸c˜ ao desenvolvida ´e aplicado a deriva¸c˜ao:
1

(5)

n

l(θ, x) = n − θ

xi

(6)

xi

(7)

i=1 n l(θ, x) = n − θ i=1 Em seguida ´e igualada a zero para ser encontrada o valor maximo. n n − θˆ

xi = 0

(8)

i=1 n n = θˆ

xi

(9)

i=1

Por fim temos que o EMV de θ ser´a:
1
θˆ = ¯
X

2

Quest˜ ao 2

3

Quest˜ ao 3

3.1

(10)

Letra A

Dado que a fun¸c˜ ao de densidade se aproxima de uma distribui¸c˜ao uniforme, dessa forma para encontrarmos a sua EMV, partindo da estima¸c˜ao do termo θ, sendo assim temos:
A distribui¸c˜ ao uniforme segue a seguinte fun¸c˜ao de probabilidade:

 1, 0 ≤ x ≤ θ f (x|θ) = θ

0, CC

(11)

Assumindo com θ nossa variavel aleatoria tomando uma amostra aleat´oria θ1 ...θn de θ para encontrarmos o estimador de m´axima verossimilhana¸ca: n L(θ, x) =
Desenvolvendo temos que:
2

1 θ i=1

(12)

L(θ, x) =

1 θn (13)

Aplicando o logaritimo:
−n

(14)

l(θ) = −n ln(θ)

(15)

l(θ) = ln (θ)

Derivando a fun¸c˜ ao temos que: l(θ) =

−n θ (16)

Ingualando a zero para encontrar o m´aximo temos que:
−n
=0
θˆ