2ctg

A Herança de David Hilbert na Filosofia da
Matemática
Reinhard Kahle
CENTRIA e DM-FCT-UNL [e-mail] Apresentamos algumas linhas gerais do projecto de investigação A Herança de Hilbert na Filosofia da Matemática, financiado pela FCT/MCTES,
PTDC/FIL-FCI/109991/2009.
O nosso objectivo é reavaliar as ideas de David Hilbert que contribuiram—e contribuem—para o desenvolvimento da filosofia da matemática.
Por um lado, a história do programa de Hilbert é um successo, apesar dos resultados de Gödel. Gerhard Gentzen foi o primeiro que mostrou como podemos demonstrar a consistência (relativa) de sistemas matemáticos formais. Ainda hoje, o estudo da consistência relativa é uma parte importante da investigação em lógica matemática.
Por outro lado, muitos tópicos da actual filosofia da matemática contêm ideias de Hilbert, não observadas ou ignoradas.

A «Filosofia» de Hilbert
Dentro de uma classificação de posições filosóficas nos fundamentos da matemática, é possível ligar Hilbert com:
• Logicismo: pontualmente (1917), em particular como um estímulo para o trabalho posterior.
• Formalismo: é a posição habitualmente atribuída a Hilbert; de facto, esta atribuição precisa de ser reavaliada.
• Intuicionismo: apesar do intuicionismo ser normalmente considerado como o pólo oposto de Hilbert, ele assumiu-o tacticamente.
• Estruturalismo: esta posição é mais recente (Bourbaki), mas provavelmente a melhor caracterização para Hilbert.
• Platonismo: na parte «finitista».
• Nominalismo: na parte «ideal».

Suplemento do Boletim da SPM 65, Outubro 2011, pp. 44–46

Reinhard Kahle

45

A herança
A herança de Hilbert permanece viva em, pelo menos, quatro tópicos
(matemáticos e filosoficos):
1. A Teoria de Demonstração.
Hilbert introduziu a noção de demonstração como objecto matemático; com os resultados de Gödel (teoremas de incompletude; interpretação
«Dialectica») e Gentzen (demonstrações de consistência com meios transfinitos) o programa de Hilbert