2 Provas Gerais - Estatistica Básica UNICAMP - Popov

ME-323 — Exame

1. Em um grupo de 100 pessoas h´a 25 pessoas que fumam, 40 que bebem e 10 que fumam e bebem. Escolha-se uma pessoa deste grupo ao acaso. Qual ´e a probabilidade de que a pessoa escolhida
(a) bebe, mas n˜ao fuma;
(b) n˜ao fuma e n˜ao bebe?

2. A distribui¸c˜ao conjunta de X e Y ´e dada por p(x, y), onde p(1, 1) = 1/9, p(2, 1) = 1/3, p(3, 1) = 1/9 p(1, 2) = 1/9, p(2, 2) = 0, p(3, 2) = 1/18 p(1, 3) = 0, p(2, 3) = 1/6, p(3, 3) = 1/9.
Calcule as distribui¸c˜oes marginais de X e Y . As v. a. X e Y s˜ao independentes?
Calcule a distribui¸c˜ao condicional de X dado que Y = 1.

3. Seja X a v.a. cont´ınua cuja densidade ´e dada por f(x) =  kx2 se 0  x  1
0 caso contrario.
(a) Determine o valor de k.
(b) Calcule P(1/4 < X < 1/2).
(c) Calcule E(X), Var(X), E(eX).
(d) Determine a f.d. de X.

4. Seja U uma v.a. Uniforme (0, 1) e X = ln U. Usando a fun¸c˜ao geradora de momentos, calcule EX e VarX.

5. Considere uma cadeia de Markov com a matriz de transi¸c˜ao
P =  0.5 0.5
0.6 0.4 
(a) Calcule a matriz de probabilidades de transi¸c˜ao em 4 passos.
(b) Calcule as probabilidades estacion´arias.
(c) Esta cadeia de Markov ´e revers´ıvel?
(d) Partindo do estado 2, qual ´e o n´umero m´edio de passos que o processo precisa fazer para voltar ao mesmo estado?

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ME-323 — Prova substitutiva

1. Numa urna h´a 4 bolinhas brancas, 3 verdes e 5 azuis. Escolhemos 4 bolinhas sem reposi¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade de que foram escolhidas 2 bolinhas de uma cor e 2 bolinhas de outra cor? Qual ´e a probabilidade de que todas as bolinhas escolhidas s˜ao da mesma cor?

2. Escolhemos ao acaso e sem reposi¸c˜ao 3 n´umeros inteiros entre 1 e 142857.
Calcule a probabilidade de terceiro n´umero estar entre primeiro e segundo, dado que o primeiro ´e menor do que o segundo. (Dica: n˜ao ´e preciso fazer