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Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional a população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é duas vezes a população inicial, determinaremos a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique.
Conforme dito no enunciado, a população cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes no instante t. Escrevendo matematicamente temos: = k . P
Onde:
P: população no instante t k: constante de proporcionalidade
: taxa de variação
Separando a equação citada (equação diferencial separável) temos: = k .
Integrando ambos os lados: ln(P) = k . t + C
Utilizando a propriedade da exponencial, é possível reescrever:
P =
E pela propriedade das potências reescrevemos:
P = .
Considerando que não deixa de ser uma constante qualquer a chamaremos de D para facilitar. Portanto:
P = .
Como o que está variando na função é o tempo (t), então podemos escrever a função da seguinte forma:
P (t) = . D
Supondo que no tempo zero (inicial) temos a população inicial que será chamada de Pi. Ou seja:
Pi = P (0) = .
Como todo número (≠ 0) elevado a zero é igual a 1, temos:
Pi = D
Substituindo D por Pi, temos a função que descreve o crescimento da população:
P(t) = . Pi
O enunciado afirma que após 1 hora a população dobrou, ou seja: P(1) = 2 . Pi
Portanto:
2 . Pi = . Pi
2 =
Pela propriedade dos logarítimos: ln (2) = k k = 0,6937
Quanto tempo levará para triplicar a população? 3 . Pi
E afirmando que no tempo t (a ser encontrado) a população é igual a 3.Pi, tem-se:
P(t) = 3 . Pi
Sabendo que a equação que descreve a situação do exercício é:
P(t) = . Pi
Substituindo P(t) por 3.Pi e substituindo também o valor de k, temos:
3 . Pi = . Pi
Eliminando o “Pi” e aplicando a propriedade logarítmica: ln(3) = 0,6937 . t
1,0986 = 0,6937 . t t= 1,5836 hora ≈ 1 hora e 35 minutos para a população triplicar!