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Prof.: Carlos Luciano

Sistemas de Coordenadas na Reta e no
Plano
Coordenadas na reta:

Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso, chamado positivo; o sentido inverso chama-se negativo.
-1

0

1

2

x<0

X x>0 Origem

O eixo X é uma reta orientada na qual se fixou um ponto 0, chamado de origem e, qualquer x ∈ R.

Distância entre dois pontos na reta
P(8)

dPO = 8

8

x
0

8

A distância de um ponto de coordenada positiva à origem é o valor da própria coordenada.

Distância entre dois pontos na reta
Q(-8)

dQO = 8
8
-8

0

x

A distância de um ponto de coordenada negativa à origem é o valor simétrico da própria coordenada.

Distância entre dois pontos na reta
Sendo x1 e x2 as coordenadas de dois ponto X, na reta, temos que a distância de X dada por:

x2

x1
-1

0

1

2

X

d( x1, x2) = |x2 – x1|
Exercício: Marque na reta r os pontos x0 = 4 e x1 = -5 e calcule a distância entre esses dois pontos.

Distância entre dois pontos na reta
P(a)
Q(b)

dPQ=|a-b|
|a-b|
a

b

x

Se não sabemos qual é o maior valor (a ou b), calculamos o valor absoluto da subtracção das coordenadas, assim sendo, obteremos sempre um valor positivo para a distância.

Coordenadas no Plano
A(-2,4)
B(-2,9)
C(4,4)

B
5

No plano, para pontos com a mesma abcissa, a distância é o módulo da diferença das ordenadas: y
9
6

A

4

-2 0

C

4

dAB = |9 – 4| = 5

x
No plano, para pontos com a mesma ordenada, a distância é o módulo da diferença das abcissas:

dAC = |4 – (-2)| = 6

Coordenadas no Plano
Quando nenhuma das coordenadas coincide, como determinar a distância entre os pontos?

Distância entre dois pontos
Seja π um plano munido de um sistema de eixos ortogonais oxy e sejam e os pontos P1= (x1 , y1) e P2 = (x2 , y2) dois pontos do plano π.
Seja Q = (x1 , y2). Como, d(P1 , Q) = |y2 , y1| ; d(P2 , Q) = |x2 , x1|.
Logo, temos, pelo teorema de Pitágoras:

Coordenadas no Espaço
Um sistema de eixos ortogonais OXYZ no espaço, consiste em três eixos OX, OY e OZ,