1 Limites

MAT146 - C´alculo I - Limites
Alexandre Miranda Alves

12 de mar¸co de 2015

MAT146 - C´ alculo I - Limites

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Limites
Considere a fun¸c˜ao f : R \ {−1} → R dada por f (x) =

x x +1

Sabemos que f (0) = 0
1
f (1) =
2
f (−2) = 2
..
. e sabemos que n˜ao existe f (−1). Na verdade, o n´ umero −1 nem faz parte do dom´ınio de f . Mas o que acontece quando a vari´avel x se aproxima de
−1?
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Observe o gr´afico da fun¸c˜ao

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Defini¸c˜ao de Limite
Seja I um intervalo aberto em R, a ∈ I e f uma fun¸c˜ao real definida em todo ponto de I , exceto possivelmente em a (note que o dom´ınio de f neste caso ´e I ou I \ {a}). Dizemos que o limite de f (x) quando a vari´avel x tende a a ser´a o n´ umero L se a seguinte condi¸c˜ao for verdadeira:

Condi¸c˜ao: (ε, δ)
Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜ ao |f (x) − L| < ε.
Aqui, as letras gregas ε e δ representam respectivamente as distˆancias entre f (x) e L e entre x e a.

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Exemplo
Seja f (x) = 2x + 3. Suponha que o limite lim f (x) = 5

x→1

Dado a distˆancia ε = 0, 5, encontre uma distˆancia δ tal que se 0 < |x − 1| < δ ent˜ao |f (x) − 5| < 0, 5

(1)

Solu¸c˜ao:
Note que
|f (x) − 5| = |2x + 3 − 5| = |2x − 2| = 2|x − 1|
Assim
2|x − 1| < 0.5 ⇔ |x − 1| <
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0, 5
= 0, 25
2
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Como 0 < |x − 1| < δ, basta escolher-mos δ = 0, 25. Na verdade, note que qualquer valor para δ menor que 0, 25 satisfaz a afirma¸c˜ao (1).

Exemplo
Prove que lim (7x + 4) = −3. x→−1 Precisamos de mostrar que para qualquer distˆancia ε dada, existe uma distˆancia δ satisfazendo a condi¸c˜ao ε, δ. Vamos l´a!
Seja ε > 0 qualquer.
|(7x + 4) − (−3)| < ε ⇔ |7x + 7| < ε ⇔ 7|x + 1| < ε ⇔ ε ε
⇔ |x − (−1)| <
7
7 ε portanto, escolhendo 0 < δ ≤ a condi¸c˜ao ε, δ ´e satisfeita.
7
|x + 1| <

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Unicidade do Limite

O seguinte resultado ´e fundamental para a teoria de