08 derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Prof.: Joaquim Rodrigues

ESTUDO DAS DERIVADAS

Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x, definida e limitada, num intervalo ] a , b [ . y y = f (x)

a

b

x

Agora seja x0 um ponto desse intervalo e x ( x ≠ x0 ) um segundo ponto do mesmo intervalo. y y = f (x) f (x) f (x0 )

a

x0

x

b

x

Vamos formar a diferença ∆y = f ( x) − f ( x 0 ) que chamaremos acréscimo ou incremento da função, e compará-la com a diferença ∆x = x − x0 que chamaremos acréscimo ou incremento da variável independente x, a partir de x0 .
A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada
∆y f ( x) − f ( x 0 ) por =
.
∆x x − x0

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Prof.: Joaquim Rodrigues

Se existe o limite desta razão incremental para ∆x tendendo a zero, temos que:
∆y
lim será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto x0 e será
∆x → 0 ∆x dy ∆y
= lim
.
representada por dx ∆x → 0 ∆x
Observe que:
Se ∆x → 0 e ∆x = x − x0 , então x − x0 → 0 , o que nos leva a concluir que x → x0
Assim, podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser representada por:

lim

∆x → 0

f ( x) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x x → x0 x − x0

e finalmente que a derivada será:

f ( x) − f ( x0 ) dy = lim dx x → x0 x − x0

ou f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

Se existe f ′( x0 ) , então dizemos que f é derivável no ponto x0 .

dy se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716); a dx última notação f ′ ( x 0 ) foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange, 1736 –
1813).
Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente y ′ para indicar a derivada de y.
Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função, é D y = D f ( x) = f ′ ( x) que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857).
Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos ao símbolo D um índice indicativo dessa variável.
D x f = D f (x) , D x u =