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Álgebra Linear
3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.

a) b) c)
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.
2 – Encontre o determinante de cada matriz.

a) b) c)
Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina-se alguns cofatores.
a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:

OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a13 e a23.

b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.

OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a12 e a22.

c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses elementos é zero, o determinante é nulo.

3 – Determine o conjunto verdade das equações.
Solução.
a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:

b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

4 – Sabendo que , calcule os determinantes das seguintes matrizes.
Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades dos determinantes.

a) 1470 b) 0 c) – 2940

a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.
b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale