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Páginas: 9 (2018 palavras) Publicado: 6 de agosto de 2013
Álgebra Linear
Autovalores e Autovetores
Prof. Carlos Alexandre Mello
cabm@cin.ufpe.br

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br

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Autovalores e Autovetores
• Dada uma transformação linear de um espaço
vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de
saber quê vetores seriam levados neles mesmos
por essa transformação
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais
queT(v) = v?
• v é chamado de vetor fixo
• Obviamente, a condição é válida para v igual ao
vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo,
vamos desconsiderá-lo
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Autovalores e Autovetores
• Aplicação:
Solução de equações diferenciais
Equações do tipo: a.x’ + bx + c = d, onde x’=dx/dy

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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
I:R2 → R2

Transformação Identidade

(x, y) → (x, y)
Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y)
para todo (x, y)∈R2

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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
rX:R2 → R2
(x, y) → (x, -y)
Ou

Reflexão no Eixo-x

x
1 0 x

y
0 -1 yw

rX


rX(w)

Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é
mantido fixo pela transformação rx. De fato:

1 0 x = x
0
0 -1 0

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Ou seja rx(x, 0) = (x, 0)
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Cont.

Autovalores e Autovetores

• Exemplo 2: Reflexão no Eixo-x
Ainda mais, esses vetores são únicos com essa
propriedade já que:

1 0 x = x ⇒
y
0-1 y


x + 0y = x
0x – y = y

x=x
y = -y ⇒ y = 0

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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3:
N:R2 → R2
(x, y) → (0, 0)

Transformada nula

Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0)

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• Considere o seguinte problema:dada uma
transformação linear de um espaço vetorial
T:V→V, estamos interessados em saber quais
vetores são levados em um múltiplo de si
mesmos; isto é, procuramos um vetor v∈V e um
escalar λ∈R tal que:
T(v) = λ.v

• Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção
que v

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Autovalores e Autovetores
• Como v = 0 satisfaz aequação para todo λ,
estamos interessados em v≠0
• O escalar λ é chamado de autovalor ou valor
característico de T
• O vetor v é chamado de autovetor ou vetor
característico de T
• Chamaremos de Operador Linear à
transformação T:V→V
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Autovalores e Autovetores
• Definição: Seja T:V→V um operador linear. Se
existirem v∈V, v≠0 eλ∈R tais que Tv = λv, λ é
um autovalor de T e v é um autovetor de T
associado a λ
• Observe que λ pode ser zero enquanto v não
pode ser o vetor nulo

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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
T:R2 → R2
v → 2v

x
→ 2
y
0

0
2

x
2x
x
= 2y = 2 y
y

Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y)≠(0, 0)
é umautovetor associado ao autovalor 2

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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
rx:R2 → R2
(x, y) → (x, -y)

x
1 0 x

y
0 -1 y
Os vetores da forma 0 são tais que:
y

1 0 0 = 0 = -1 0
-y
y
0 -1 y
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Assim, todo vetor (0,y),
y ≠ 0, é autovetor derx com autovalor λ=-1
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Cont.

Autovalores e Autovetores

• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por
essa transformação
• rx (x, 0) = 1.(x, 0)

Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao
autovalor λ = 1, com x ≠ 0
Assim, existem dois autovalores para essa
transformação com um autovetor associado a cada
autovalor

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