Álgebra Linear

Páginas: 5 (1031 palavras) Publicado: 12 de setembro de 2014
RESOLUÇÃO DA PROVINHA – ENG. CIVIL – ÁLGEBRA LINEAR –SET/2013



1)Conceituar:
a)Subespaço vetorial. .
Resp.
Um conjunto não vazio V, subconjunto de um espaço Vetorial W é subespaço vetorial de W se são válidas as duas condições:
i)Dados u, vЄV, tem-se (u+v)ЄV; ii)Dados uЄV e αЄR, tem-se αu ЄV

b)Combinação linear
Um vetor v é combinação linear dosvetores v1, v2, ..., vn se existem reais tais que
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn .

c)Vetores LI – linearmente independentes
Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LI ou Linearmente Independente se a equação
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 admite somente a solução nula.


2)Verificar se o conjunto S = {(x, y, z) | x = 4y, z = 0} é um subespaçovetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Resp.:
Sejam os vetores de S: v1 = (4y1; y1; 0) e v2 = (4y2; y2; 0) e número α real:
i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2); y1+ y2; 0) ЄR3
ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3.
Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3.


3)Determinar a dimensão e criar umabase para os espaços vetoriais:
a) {(x, y, z) | y = 2x}
Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (x; 2x; z). tem-se:
Dimensão = 2 (número de variáveis do vetor genérico).
Base: já que a dimensão é 2, então uma base desse espaço vetorial tem 2 vetores. Então cria-se dois vetores particulares a partir do genérico:
Para x = 1 e z = 2 ==> v1 = (1, 2, 2). Para x = 4 e z = 5 ==>v2 = (4; 8, 5)
E uma base é B = {v1; v2} = {(1; 2; 2), (4; 8; 5)}

b){(x, y, z) | x = 3y e z = -y}
De forma semelhante, tem-se:
Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (3y; y; -y). tem-se:
Dimensão = 1 (número de variáveis do vetor genérico).
Base: já que a dimensão é 1, então uma base desse espaço vetorial tem 1 vetor. Então cria-se
um vetor particular a partir do genérico:
Paray = 1 ==> v = (3; 1; -1)
E uma base é B = {v} = {(3; 1; -1)}


4)Mostrar que S = {(x, y; z) | y = x +3 e z = 0} não é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (x1; x1+3; 0) e v2 = (x2; x2+3; 0). Tem-se:
i)v1+v2 = (x1; x1+3; 0) + (x2; x2+3; 0) = (x1+x2; x1+x2+6; 0) S
Então o conjunto S acima não ésubespaço vetorial de R3.

5)Escrever o vetor w = (7, –11, 2) como combinação linear dos vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4).
Resp.: Assim: a(2, -3, 2) + b(-1, 2, 4) = (7, -11, 2) ==> (2a – b, -3a+2b, 2a + 4b) = (7, -11, 2)
O que fornece o sistema linear cuja resolução fornece:

Então w = 3u – v

6)Conceituar:
a)Igualdade de matrizes.
Resp. Duas matrizes de mesma ordemsão iguais se os termos de mesma posição são iguais.
Ou: As matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se aij = bij.

b)Matriz transposta.
Resp. A matriz At é transposta da matriz A = (aij)mxn se At = (aji)nxm; isto é, as colunas de At são respectivamente as linhas da matriz A.

c)Matriz identidade.
Resp. Matriz Identidade é a matriz quadrada cujos termos da diagonal principal sãoiguais a 1e os outros termos são nulos.
Ou: Matriz identidade é a matriz diagonal cujos termos da diagonal principal são iguais a 1.


5)Calcular os determinantes:


6)Em relação a cada sistema linear a seguir, pede-se classificar, resolver, fornecer a solução e determinar o grau de liberdade se for o caso:







10)A seguir estão indicadas operações entre matrizes. Pede-seefetuar as operações possíveis e justificar aquelas que não podem ser realizadas.




11)Assinalar V(verdadeiro) ou F(falso) nas afirmativas seguintes.
( )a)Só é possível efetuar a adição de matrizes do mesmo tamanho.
( )b)Um subespaço S de um espaço vetorial W é também um espaço vetorial.
( )c)Um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas possui exatamente 3 soluções.
( )d)v = (5; 9)...
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