álgebra booleana

Páginas: 13 (3073 palavras) Publicado: 9 de janeiro de 2014
´
Algebra de Boole
Jo˜o Paulo Cerquinho Cajueiro
a
19 de agosto de 2009
A ´lgebra de Boole foi desenvolvida por George Boole(1815–1864) em seu
a
livro An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities de 1854. Ela buscava uma base matem´tica formal para a l´gica e probabilidade e passou um longo tempo sendo
a
o
conhecidaapenas por matem´ticos, sem encontrar uma utilidade pr´tica. Foi,
a
a
de certo modo, descoberta por Claude Shannon(1916–2001), que a utilizou em
sua tese de mestrado A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits em
1937 para desenvolver circuitos el´tricos que realizassem fun¸˜es l´gicas.
e
co o

1

Postulados

Pensando em probabilidade, a id´ia b´sica da ´lgebra booleana ´ deutilizar
e
a
a
e
conceitos de ´lgebra para expressar quest˜es de probabilidade ou de l´gica.
a
o
o
Neste sentido o n´mero 1 expressa o conceito l´gico de verdadeiro ou o conceito
u
o
probabil´
ıstico (ou melhor, de teoria de conjuntos) de todo o espa¸o amostral,
c
o 0 ´ o equivalente l´gico de falso ou de conjunto nulo, a soma + equivale
e
o
ao ou l´gico e a uni˜o (∪) de conjuntos ea multiplica¸˜o equivale a opera¸˜o
o
a
ca
ca
l´gica e e a intersec¸˜o (∩) de conjuntos. Os potulados s˜o feitos de modo a
o
ca
a
garantir esta equivalˆncia.
e
Postulado 1 – Opera¸˜es:
co
A algebra de Boole tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas opera¸oes:
´

· e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K:
(a)
(b)

a·b ∈ K
a+b∈K

(P1)

a+0=a
a·1 = 1

(P2)a+b=b+a
a·b = b·a

(P3)

Postulado 2 – Valores Neutros:
Existem valores 0 e 1 tais que:
(a)
(b)
Postulado 3 – comutatividade:
(a)
(b)

1

Postulado 4 – associatividade:
(a)
(b)

a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c

(P4)

Postulado 5 – distributividade:
(a)
(b)

a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

(P5)

Postulado 6 –existˆncia de complemento:
e
Para todo a ∈ K, existe um e apenas um a ∈ K, chamado o complemento de a,
tal que:
(a) a + a = 1
(P6)
(b) a · a = 0

2

Teoremas

V´rias caracter´
a
ısticas da ´lgebra de Boole n˜o aparecem diretamente nos posa
a
tulados, mas podem ser inferidas a partir deles. Muitas destas caracter´
ısticas
ser˜o uteis para n´s, e abaixo descrevemos 10 teoremas,provados a partir dos
a ´
o
postulados (ou de teoremas j´ provados, o que d´ no mesmo).
a
a
Dentre os 10 teoremas mostrados, 9 deles tem 2 formas, aqui chamadas de (a)
e (b), que s˜o as formas duais dos teoremas. A dualidade ser´ melhor discutida
a
a
usando o teorema 1 como exemplo.
Teorema 1:
A soma ou o produto de um valor por ele mesmo ´ igual a ele mesmo.
e
(a)
(b)

a+a=a
a·a =a

(T1)

E a prova deste teorema encontra-se abaixo:
a=a+0
= a + a·a

a = a·1
= a · (a + a)

= (a + a) · (a + a)
= (a + a) · 1
a=a+a

Prova:

= (a · a) + (a · a)
= (a · a) + 0
a = a·a

Note que a prova de T1(a) ´ idˆntica a de T1(b), ao se trocar as opera¸˜es
e e
co
de soma por multiplica¸˜o e vice-versa e os 0’s por 1’s e vice-versa. Isto n˜o ´
ca
a e
uma coincidˆncia,mas vem diretamente do fato de que os postulados tem esta
e
simetria. Em ´lgebra de Boole isto ´ chamado de dualidade. Diz-se ent˜o que
a
e
a
uma express˜o ´ o dual da outra quando se trocam os · por + e vice-versa e os
a e
0’s por 1’s e vice-versa.
Al´m disso, a simetria dos postulados garante que: se uma express˜o f ´
e
a
e
verdadeira, logo a express˜o dual fd tamb´m ´ verdadeira.Por conta disto, para
a
e e
todos os teoremas subsequentes que tenham express˜es duais, s´ provaremaos
o
o
uma delas, j´ que o dual do teorema ´ automaticamente verdadeiro.
a
e
2

Teorema 2:
(a)
(b)

a+1=1
a·0 = 0

(T2)

Prova:
a + 1 = a + (a + a)
= (a + a) + a
=a+a
a+1=1
Teorema 3:
a=a

(T3)

Prova:
Seja a = b:
b·a = a·b = a·a

0

b+a=a+b=a+a

1

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